Teorema de finalización de grupo

Question

Sea $M$ sea un monoide topológico. Cómo funciona la formulación homológica del teorema de terminación de grupo, a saber (véase McDuff, Segal: Fibraciones homológicas y el teorema de "compleción de grupo )

Si $\pi_0$ está en el centro de $H_*(M)$ entonces $H_*(M)[\pi_0^{-1}]\cong H_*(\Omega BM)$

implican que $M\to \Omega BM$ es una equivalencia homotópica débil si $\pi_0(M)$ ¿es ya un grupo? No veo la relación con la homología. ¿Se puede demostrar esta última afirmación (tal vez más débil) más fácilmente que el teorema de la compleción de grupos?

Terminación de un grupo topológico $G(M)$ de $M$ debe transformar el monoide $\pi_0(M)$ en su terminación de grupo (algebraica estándar). Pero un espacio con esta propiedad no es único. ¿Por qué $\Omega BM$ ¿la elección "correcta"? Quizá esto quede claro cuando vea la conexión con la formulación homológica anterior.

Answer 1

La afirmación de que $M \to \Omega BM$ es una equivalencia débil cuando $M$ es un monoide topológico de tipo grupo es, en efecto, más fácil: el mapa $EM = B(M \wr M) \to BM$ es entonces una cuasifibración, tiene fibra geométrica $M$ sobre el punto base y la fibra homotópica $\Omega BM$ .

Sin embargo, el teorema homológico de terminación de grupo también implica esto: si $M$ es de tipo grupo, entonces $\pi_0(M)$ ya consta de unidades en $H_*(M)$ Así que sólo dice que $M \to \Omega BM$ es una equivalencia homológica. Cada uno de estos espacios tiene componentes de camino homotópicamente equivalentes, por lo que basta entonces con observar que el mapa de 0 componentes es una equivalencia homológica entre espacios simples, por tanto una equivalencia homotópica débil.

Sin embargo es perverso demostrar la " $M \simeq \Omega BM$ " resultado de esta manera.

Answer 2

Bueno, si $\pi_0=\pi_0(M)$ ya es un grupo, entonces $H_*(M)\approx H_*(M)[\pi_0^{-1}]$ . Así que $M$ y $\Omega B M$ tienen la misma homología en este caso. Esto no es suficiente por sí solo, pero si puedes producir un mapa $M\to \Omega BM$ que induce este isomorfismo homológico, entonces el resultado se sigue utilizando el teorema de Hurewicz.

Lo que McDuff-Segal hace en realidad es demostrar que si $M$ es un monoide topológico que actúa sobre un espacio $X$ de tal manera que cada $m\in M$ induce una equivalencia homológica $x\mapsto mx\colon X\to X$ entonces puedes producir una "fibración homológica" $f:X_M\to BM$ con fibra $X$ . "Fibración homológica" significa que las fibras de $f$ son homológicamente equivalentes a las fibras homotópicas de $f$ .

Si $\pi_0M$ es un grupo abeliano, se puede encontrar un $X$ tal que $X_M$ es contractible, y la fibra de $f:X_M\to BM$ es $X$ . Esto da la equivalencia homológica deseada, ya que las fibras homotópicas de $f$ parecer $\Omega BM$ .

Echa un vistazo al artículo de McDuff y Segal, es bonito. También hay un tratamiento en términos de conjuntos simpliciales en Goerss-Jardine, *Simplicial Homotopy Theory".

Añadido: El functor $M\mapsto \Omega BM$ es el "functor derivado total de terminación de grupo". La única explicación convincente de por qué esto es así (que yo sepa) está en Dwyer-Kan, Localizaciones simpliciales de categorías , JPAA (17) 267-283. Aunque funcionan de forma simplificada, y funcionan de forma más general (con categorías en lugar de monoides), muestran que $M$ es un monoide simplicial cofibrante entonces el monoide simplicial $M[M^{-1}]$ es débilmente equivalente al espacio $\Omega |BM|$ .