Es la función aritmética $\alpha$ definido por $\alpha(n) = \sigma(n)^2$ ¿es una función multiplicativa?

Question

Sé que $\sigma(n)$ es una función multiplicativa y elevándola al cuadrado no debería dejar de ser multiplicativa. Sin embargo, no estoy seguro de cómo demostrar esto en general.

Answer 1

En realidad, esto es bastante sencillo, una vez que se entienden las definiciones. Pero como eres estudiante de secundaria, es comprensible que no hayas visto antes este tipo de argumentos.

Si $n_1$ y $n_2$ son coprimos, entonces $\sigma(n_1 n_2) = \sigma(n_1)\sigma(n_2)$ ya que $\sigma$ es multiplicativa.

Por lo tanto, si $n_1$ y $n_2$ son coprimos, entonces $$ \alpha(n_1n_2) = \sigma(n_1 n_2)^2 = \left( \sigma(n_1)\sigma(n_2) \right)^2= \sigma(n_1)^2\sigma(n_2)^2 = \alpha(n_1)\alpha(n_2),$$ así que $\alpha$ también es multiplicativa.

Answer 2

Sea $n = ab$ donde $a$ y $b$ son coprimos. Entonces si $\sigma(n)$ es multiplicativa, tenemos $\sigma(n) = \sigma(ab) = \sigma(a) \sigma(b)$

Entonces $\alpha(n) = \sigma(n)^2 = \sigma(ab)^2 = \sigma(a)^2 \sigma(b)^2 = \alpha(a)\alpha(b) = \alpha(ab)$ que muestra que $\alpha(n)$ también es multiplicativa.