Confusión sobre la diferencial de funciones multivariables.

Question

Me han dado una función $F: \mathbb{R²} \to \mathbb{R³}$

y otra función $\beta: J \to \mathbb{R³}: t \mapsto F(a + tx)$

donde $x = v_1(1,0) + v_2(0,1) = (v_1,v_2)$ y $a$ podemos suponer que todas las funciones dadas son diferenciables en su dominio.

Me piden que encuentre $\beta'(0)$ (debe ser igual a $D_1F(a)v_1 + D_2F(a)v_2$ )

Mi intento:

Sea $R(t) = a+tx$

Entonces $\beta'(0) = D\beta(0) = D(F\circ R)(0) = DF(R(0)) \circ DR(0)$

y entonces estoy atascado.

Answer 1

$R(t)=(R_{1}(t),R_{2}(t)):=(a_{1}+tx_{1},a_{2}+tx_{2})$ y $\beta=F\circ R$ Así que $\beta'(0)=\dfrac{\partial F}{\partial x}(R(0))R_{1}'(0)+\dfrac{\partial F}{\partial y}(R(0))R_{2}'(0)$ . Tenga en cuenta que $R_{1}'(0)=x_{1}$ y $R_{2}'(0)=x_{2}$ .

Aquí $\dfrac{\partial F}{\partial x}=D_{1}F$ y similar a $D_{2}F$ .

Answer 2

Ya casi has terminado.

El diferencial de una función afín $x \mapsto Ax + b$ donde $A$ es un mapa lineal y $b$ es un vector es igual al mapa lineal $A$ . Efectivamente:

$$\lim_{h\to 0}\frac{\|(Ah + b) - (A\cdot 0 + b) - Ah\|}{\|h\|} = \lim_{h\to 0}\frac{\|Ah + b - Ah - b\|}{\|h\|} = 0$$ Por lo tanto, tenemos $DR(0) = x\cdot$ el operador de multiplicación por $x$ .

$DF(R(0))$ es sólo $DF(a)$ ya que $R(0) = a$ .

Así que.., $D\beta(0) = DF(a) \,\circ x\cdot$ .