Normalizador de $(1 2 3 4 5)$ sur $S_5$

Question

Encontrar dos elementos en $A_5$ que son conjugados en $S_5$ pero no en $A_5$ .

He demostrado que si $a$ & $b$ son conjugados en $S_5$ pero no en $A_5$ entonces todos los elementos del normalizador $N(a)$ deben ser permutaciones pares. ( enlace a la prueba. )

Todos los elementos de $A_5$ son de la forma $(1 2 3 4 5)$ o $(1 2 3)$ o $(1 2)(3 4)$ .

Desde aquí, Hallar el normalizador de un grupo , $(1 2 3)$ se descarta porque su normalizador contiene $(4 5)$ un elemento impar.

Creo que Normalizador de $(1 2 3 4 5)$ contiene $e$ y $(1 2 3 4 5)$ porque ninguna de 1, 2, 3, 4 o 5 es estable bajo esta permutación. Por favor, ayúdame a decidir si todos los elementos en el normalizador de $(1 2 3 4 5)$ están realmente igualados.

Answer 1

El normalizador de un único elemento es el mismo que los elementos que conmutan con él, es decir, es el centralizador.

Claramente, todo el grupo cíclico $\langle (12345)\rangle$ cumple la condición.

Por el teorema del estabilizador orbital, éste es el centralizador entero.

( Es decir, existe un teorema según el cual si se considera la acción de la conjugación, se conserva la estructura del ciclo. Además, dos permutaciones cualesquiera del mismo tipo de ciclo son conjugadas. Por lo tanto, el teorema dice que la órbita de la acción de conjugación consiste en todos los $24$ cinco ciclos.

Ahora tenemos $\mid C(12345)\mid=\mid S_5\mid/{24}=120/{24}=5$ donde $C(12345)$ es el centralizador).

Answer 2

Desde $(12345)$ es un único elemento, su normalizador es su centralizador.

Pista: Considere, por ejemplo $\alpha\in S_5$ los elementos de la forma $$\alpha^{-1}(12345)\alpha.$$