Lanzamiento infinito de monedas

Question

Supongamos que dos jugadores lanzan la moneda (que se supone justa). Continúan lanzando la moneda hasta el momento en que se produce una de las dos secuencias siguientes: HH o TTT. En el primer caso gana el jugador 1 y en el segundo gana el jugador 2. ¿Cuál es la probabilidad de que gane el jugador 1? El mismo problema para HHT y THT.

EDIT: He intentado resolver este problema mediante el método "random-walks" pero desgraciadamente me he dado cuenta de que este problema no encaja en este esquema. También intenté obtener alguna relación de recurrencia. Por otra parte, he encontrado una versión de este problema (pero mucho más simple) y la solución fue "a mano". Me pregunto si existe un método general que permita tratar todos estos ejemplos. Por supuesto H significa "cara" y T significa "cruz".

Answer 1

Para la primera pregunta, tenemos una cadena de Markov con seis estados, en la que cada probabilidad de transición es $1/2\,{}$ : $$ \begin{array}{cccclll} & & H \text{ not preceded by }H & \longrightarrow & HH \\ & \nearrow & \updownarrow \\ \text{start} & & \updownarrow & \nwarrow \\ & \searrow & \updownarrow \\ & & T\text{ not preceded by }T & \longrightarrow & TT\text{ not preceded by } T & \longrightarrow & TTT \end{array} $$

Considere

• $w=\Pr(\text{ultimately }HH \mid \text{now at $ H $ not preceded by $ H $})$ ,
• $x=\Pr(\text{ultimately }HH \mid \text{now at $ T $ not preceded by $ T $})$ ,
• $y=\Pr(\text{ultimately }HH \mid \text{now at $ TT $ not preceded by $ T $})$ ,
• $z=\Pr(\text{ultimately }HH \mid \text{now at ``start''})$ .

Tenemos \begin{align} w & = \frac 1 2 + \frac 1 2x \\[8pt] x & = \frac 1 2 y + \frac 1 2 w \\[8pt] y & = \frac 1 2 w \\[8pt] z & = \frac 1 2 w + \frac 1 2 x \end{align}