Demostrar que $\bigcap\limits_{i = 1}^n {\left( {{A_i} - B} \right)} = \bigcap\limits_{i = 1}^n {{A_i}} - B$

Question

Demostrar que si $A_1, A_2, \ldots , A_n$ y $B$ son conjuntos, entonces $$(A_1 B) \cap (A_2 B) \cap \cdots \cap (A_n B) = (A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) B.$$

Answer 1

Esto es bastante sencillo, así que sólo voy a dar una pequeña pista.

Obviamente es cierto para $n=1$ . Tendrá que probarlo para $n=2$ también, pero eso es sencillo. Supongamos ahora que $$(A_1\setminus B)\cap(A_2\setminus B)\cap\ldots\cap(A_n\setminus B)=(A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_n)\setminus B$$ para algunos $n\ge 2$ ; esta es tu hipótesis de inducción. Entonces

$$(A_1\setminus B)\cap\ldots\cap(A_n\setminus B)\cap(A_{n+1}\setminus B)=\color{red}{\Big((A_1\setminus B)\cap\ldots\cap(A_n\setminus B)\Big)}\cap(A_{n+1}\setminus B)\;;$$ aplica ahora la hipótesis de inducción a la cantidad roja y utiliza el hecho de que sabes que el teorema es cierto cuando $n=2$ .

Answer 2

El caso difícil es el caso base. Hay que demostrar que $$\left( A_1 - B\right) \cap \left( A_2 - B\right) = \left( A_1 \cap A_2 \right) - B$$ En general, para demostrar que dos conjuntos dicen $X$ y $Y$ son iguales, se trata de demostrar que $X \subseteq Y$ y $Y \subseteq X$ .

En su caso, primero demostraremos que $$\left( A_1 - B\right) \cap \left( A_2 - B\right) \subseteq \left( A_1 \cap A_2 \right) - B$$ Consideremos un elemento $x$ sur $\left( A_1 - B\right) \cap \left( A_2 - B\right)$ . Desde $x \in \left( A_1 - B\right) \cap \left( A_2 - B\right)$ tenemos que $x \in \left( A_1 - B\right)$ y $x \in \left( A_2 - B\right)$ . Esto nos da que $x \in A_1$ , $x \in A_2$ y $x \notin B$ . Esto significa que $x \in A_1 \cap A_2$ y $x \notin B$ . Por lo tanto, $x \in \left( A_1 \cap A_2 \right) - B$ . Esto demuestra que $$\left( A_1 - B\right) \cap \left( A_2 - B\right) \subseteq \left( A_1 \cap A_2 \right) - B$$

Ahora demuestre lo contrario. $$\left( A_1 \cap A_2 \right) - B \subseteq \left( A_1 - B\right) \cap \left( A_2 - B\right)$$ es decir, si $x \in \left( A_1 \cap A_2 \right) - B$ entonces $x \in \left( A_1 - B\right) \cap \left( A_2 - B\right)$ para concluir que $$\left( A_1 \cap A_2 \right) - B = \left( A_1 - B\right) \cap \left( A_2 - B\right)$$

Answer 3

Para demostrar con ayuda de la inducción seguimos cronológicamente estos pasos

1. Demostrar para $n=1$ En la mayoría de los casos (el caso base), este es el paso más importante.
2. Suponemos que la afirmación es cierta para algún número entero $n$ . Se trata de la Hipotesis de Inducción.
3. Demostramos que la afirmación es cierta para los números enteros $n+1$ con ayuda de la Hipótesis de Inducción.

Ahora bien, si queremos utilizar Fuerte inducción : Suponemos que la afirmación es cierta para los números enteros $1,2,3,\ldots,n$ y tratar de demostrar por $n+1$ .