(Comprobación de conceptos)Prueba de diagonalizabilidad

Question

Para la matriz $A \in M_{n \times n}(R)$ prueba A de diagonalizabilidad.

$A= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

Preguntas: Para comprobar la diagonalizabilidad, ¿es cierto que mientras podamos encontrar valores propios distintos, que en este caso son 3, entonces buscamos tres espacios propios que juntos formen una base propia? Si en este caso, podemos encontrar tres vectores propios linealmente independientes que tal eigenbasis, entonces podemos decir A es diagonalizable?

Answer 1

La matriz es diagonalizable si y sólo si existen tres vectores propios linealmente independientes. Sin embargo, puede que no sea necesario encontrar para garantizar que la matriz es diagonalizable, y puede que no sea necesario demostrar que no existen esos tres vectores para demostrar que no es diagonalizable.

Por ejemplo, un $3\times 3$ matriz que tiene tres distinto valores propios es siempre diagonalizable (más generalmente, un $n\times n$ matriz con $n$ valores propios distintos es siempre diagonalizable). Como cada valor propio tiene como mínimo un vector propio, y los vectores propios correspondientes a valores propios distintos son linealmente independientes.

Si el polinomio característico de la matriz no se divide, entonces la matriz es pas diagonalizable.

Si la matriz tiene valores propios repetidos, basta con comprobar los valores propios con multiplicidad mayor que $1$ es necesario verificar que hay tantos vectores propios linealmente independientes correspondientes a que eigenvalor como la multiplicidad (siempre hay al menos uno).

Para la matriz que nos ocupa, el polinomio característico es $-(t-1)(t^2+1)$ . Si trabaja sobre $\mathbb{R}$ no hay suficientes valores propios, por lo que no es diagonalizable. Si está trabajando sobre $\mathbb{C}$ entonces la matriz tiene tres distinto valores propios ( $1$ , $i$ y $-i$ ), por lo que es diagonalizable. No es necesario encontrar ningún vector propio en este caso.