Sea $\mathbf{C}$ sea una categoría monoidal simétrica cerrada (probablemente necesite incluso menos que esto; los ejemplos que tengo en mente son simplemente la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo y la categoría de conjuntos) y sea $\omega$ sea un objeto (arbitrario) en $\mathbf{C}$ que denominaré "objeto dualizador". Definamos un functor contravariante $D\colon \mathbf{C} \to \mathbf{C}$ tomando $X$ a $[X,\omega]$ (Hom interno) y $X\to Y$ al mapa de composición $[Y,\omega] \to [X,\omega]$ Llamemos $DX$ el "dual" de $X$ .
Ahora dejemos que $T = D^2$ es el functor covariante que lleva un objeto a su "bidual". Llama a $\eta\colon 1_{\mathbf{C}}\to T$ la transformación natural $\eta_X \colon X \to D^2X = [[X,\omega], \omega]$ obtenido a partir del mapa de evaluación $X \otimes [X,\omega] \to \omega$ . Y definir una transformación natural $\mu\colon T^2 \to T$ dejando $\mu_X \colon D^4 X \to D^2 X$ sea $D(\eta_{DX})$ .
Es un hecho: $(T,\eta,\mu)$ es una mónada.
Probablemente sea una observación bien conocida, y desde luego no es difícil (aunque es tedioso comprobarlo, o al menos a mí me lo pareció, teniendo que subir al sexiesdual(!) $D^6X$ de $X$ ).
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¿Tiene nombre esta mónada? (¿La "mónada bidual" quizás?) ¿Existe alguna referencia estándar para ella?
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¿Cuáles son algunas ocurrencias "naturales", si las hay, de álgebras para esta mónada?
(Esto se me ocurrió preguntándome si la secuencia de biduales iterados $T^n X$ de un objeto se estabiliza: el hecho de que $T$ es una mónada dice que, de alguna manera, aunque $T^2$ y $T$ no son iguales, sigue existiendo una forma de idempotencia para $T$ en la existencia de $\mu$ .)
