Inducción regular ("se mantiene para $1$ " y "si se mantiene para $k$ entonces se cumple para $k+1$ ") sólo te da que el resultado es válido para todo número natural $n$ no permite ir más allá de los números finitos. Por ejemplo, se puede demostrar por inducción que hay números naturales que requieren $n$ dígitos para escribir en base $10$ para cada $n$ pero esto no significa que existan números naturales que requieran un número infinito de dígitos para escribirlos en base $10$ . "Para todos $n$ "no es lo mismo que "para todos los tamaños, finitos o infinitos".
(Hay es un tipo de inducción que te permitiría demostrar algo por todos tamaños, no sólo finitos. Esto se denomina inducción transfinita . Demuestra que el resultado es válido para $1$ y que siempre que se cumpla para todos $m\lt k$ entonces también se cumple para $k$ (o demuestra que es válido para $1$ que si se cumple para un ordinal/cardinal $\alpha$ entonces se cumple para $\alpha+1$ y que si se cumple para todos los ordinales/cardinales estrictamente menores que $\gamma$ se cumple para $\gamma$ ). Sin embargo, no se podría hacer tal demostración con retículos, porque es falsa).
Por lo tanto, si usted tiene una red, entonces cualquier finito no vacío tiene un límite superior mínimo y un límite inferior máximo, por inducción. Aunque se tenga un $0$ y un $1$ (un elemento mínimo y un elemento máximo) para que cada conjunto tenga un límite superior y un límite inferior, todavía no se consigue que cada conjunto tenga un menos límite superior. Por ejemplo, tomemos $P = \mathbb{Q}\cup\{-\infty,\infty\}$ con el orden habitual entre racionales, $-\infty\leq q\leq \infty$ para todos $q\in\mathbb{Q}$ . Se trata de un enrejado, con operaciones $a\wedge b = \min\{a,b\}$ y $a\vee b = \max\{a,b\}$ (ya que es un conjunto totalmente ordenado). Cada finito tiene un límite superior mínimo (el máximo) y un límite inferior máximo (el mínimo). Pero es precisamente la ausencia de supremos e infimos para los conjuntos generales lo que impide que sea una red completa: el conjunto $\{q\in\mathbb{Q}\mid q^2\lt 2\}$ no tiene límite mínimo superior ni límite máximo inferior.
