Reales añadidos tras forzar Cohen

Question

Sea $V_1$ sea una extensión genérica de $V\models GCH$ obtenido añadiendo $\aleph_{\omega}-$ muchos reales de Cohen. Entonces tenemos lo siguiente:

1- En $V_1$ hay $\aleph_{\omega+1}-$ muchos reales,

2- En $V_1$ sólo hay $\aleph_{\omega}-$ muchos reales de Cohen.

¿Qué podemos decir de los otros reales en $V_1$ ? ¿Son genéricos para alguna noción de forzamiento sobre $V$ ?

Answer 1

En su extensión $V_1$ En realidad, hay muchos continuos, es decir $\aleph_{\omega+1}$ muchos $V$ -reales genéricos de Cohen. En general, siempre que se añada un solo real de Cohen, entonces la extensión tendrá un número continuo de $V$ -Cohen genérico porque si $c$ es un $V$ -genérico Cohen real y $x$ es cualquier real en el modelo de tierra, entonces la suma de bits $c\oplus x$ será un $V$ -generica Cohen real, ya que esta induce un automorfismo del forzamiento en el modelo de tierra, y estos son todos diferentes. (En tu caso, como menciona Goldstern en los comentarios, podemos ver el forzamiento como la suma de todos los reales de Cohen menos uno, y luego un real de Cohen final, para conseguir $\aleph_{\omega+1}$ muchos $V$ -reales genéricos de Cohen por este razonamiento).

Pero es cierto que no todos los nuevos reales de $V[G]$ es un $V$ -genérico Cohen real. Por ejemplo, uno puede fácilmente construir reales que obedezcan algún patrón regular, repitiendo repitiendo sus dígitos de dos en dos, por ejemplo, lo que les impide ser reales de Cohen, aunque no lo sean. reales de Cohen, aunque no estén en el modelo modelo.

No obstante, si $V[G]$ es una extensión forzada obtenida por añadiendo cualquier número de reales de Cohen y $z$ es cualquier in $V[G]$ entonces afirmo que $z\in V[c]$ para algunos $V$ -genérico Cohen real en $V[G]$ . Esto se debe a que la cadena contable del forzamiento significa que sólo se necesita una cantidad contable de información de $G$ para construir $z$ y restringiendo la secuencia genérica de los reales de Cohen a cualquier dominio contable es isomorfo de nuevo a añadir un único real de Cohen.

En general, si $V\subset V[G]$ es cualquier extensión forzosa y $W$ es un modelo intermedio $V\subset W\subset V[G]$ como $W=V[z]$ de verdad $z$ entonces $W$ también es un forzamiento extensión de $V$ por una subálgebra completa de la booleana que da lugar a $G$ .

En el caso de añadir un real de Cohen, forzar que tiene un conjunto denso contable, cada subálgebra de su álgebra booleana también tiene un conjunto denso contable, y todas las nociones de forzamiento no triviales con un conjunto denso contable tienen un conjunto denso contable. nociones de forzamiento con un conjunto denso contable son isomorfas a la adición de un real de Cohen. En este sentido, cada real añadido en una extensión forzante real de Cohen (y esto incluye todos los real en su modelo por mis observaciones anteriores) es genérico en $V$ para el forzamiento que es isomorfo al forzamiento a añadir un real de Cohen.

Así que la respuesta a tu pregunta final es que sí, estos reales extra son $V$ -genérico para alguna noción de forzamiento, ¡y esa noción de forzamiento es isomorfa al forzamiento de añadir un único real de Cohen!

Permítanme concluir con un dato interesante:

Teorema. En la ampliación forzosa $V[c]$ obtenido por añadiendo un único $V$ -genérico Cohen real, existe una familia de muchos reales de Cohen mutuamente genéricos. De hecho, existe un conjunto perfecto $P$ en $V[c]$ todos cuyos subconjuntos finitos son mutuamente $V$ -reales genéricos de Cohen.

Prueba. Consideremos el forzamiento a añadir tal conjunto perfecto $P$ . Queremos obligar a crear un árbol, todas cuyas ramas son $V$ -reales de Cohen genéricos, y tales que cualquier rama finitamente muchas ramas son reales de Cohen mutuamente genéricos. Sea son árboles binarios finitos, ordenados por extensión final. Es denso que las hojas se extiendan en cualquier subconjunto denso dado de forzamiento de Cohen. Y para productos finitos del forzamiento de Cohen consigo mismo, es denso extender el árbol de modo que todos los pares (o triples, etc.) de ramas estén dentro de cualquier conjunto denso dado en el producto forzamiento. Por lo tanto, este forzamiento creará dicho árbol y un conjunto perfecto.

Por último, obsérvese que nuestro forzamiento de árbol sólo tiene countably condiciones, y por lo tanto es isomorfo a añadir un real de Cohen. Así que la extensión de forzamiento $V[c]$ ya tiene un conjunto tan pefecto. QED

Por supuesto, las ramas a través del conjunto perfecto no serán $V$ -genérico para el forzamiento a añadir continuo muchos Cohen ya que ese forzamiento no es una subálgebra de la forzamiento para añadir sólo uno. Los reales del conjunto perfecto son sólo mutuamente genéricos cuando se toman finitamente muchos a la vez, pero no son totalmente mutuamente genéricos para colecciones infinitas. Por ejemplo, el conjunto perfecto contiene reales que son los límites de otros de sus elementos, y esto viola la genericidad para esas familias infinitas.