La existencia de un automorphism grupo con algunas propiedades implica commutativity.

Question

Que $G$ sea un grupo finito, $T$ ser un automorphisom de $G$ San $Tx = x \iff x=e$. Supongo que más que $T^2 =I$. Demostrar que $G$ es abeliano.

Estaba pensando si muestro $T aba^{-1} b^ {-1}=aba^ {-1}b^{-1} \forall a, b \in G$. Pero no he podido mostrarlo. Por favor darme cualquier insinuación sobre él.

Answer 1

Sugerencia: Considerar el $\sigma:x\mapsto x^{-1}T(x)$.

Tenga en cuenta que, en general, si $f(x)$ es un automorfismo libre de punto fijo de $G$ (fijada punto medio libre $x=1\Leftrightarrow f(x)=x$), $\sigma(x)=x^{-1}f(x)$ es una biyección de $G$ $G$ (aunque esta función no es en general un homomorfismo).

Answer 2

Sugerencia: $|G|<\infty$, $T$ es un automorphism con la propiedad entonces se puede escribir es de la forma $\forall g\in G$ para probar este resultado sólo definir $g=x^{-1}T(x)$ y que $f(x)=x^{-1}T(x)$ es en $f$.

Llegado a tu problema:

Por sobre el resultado $\forall a\in G$ podemos escribir $a=x^{-1}T(x)$ $x\in G$ lo $T(a)=T(x^{-1})T^2(x)=T(x^{-1}) x=[x^{-1}T(x)]^{-1}=a^{-1}$ así $T(ab)=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ % que $T(a)T(b)=b^{-1}a^{-1}$así $a^{-1}b^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ $ab=ba$, que $G$ es abeliano.