¿Existe una descripción "categórica" del álgebra de operadores diferenciales de Grothendieck?

Question

Primero, elige un anillo conmutativo $k$ como el "campo de tierra". Todo lo que diga será $k$ -lineal, por ejemplo, "álgebra" significa "álgebra asociativa unital sobre $k$ ". Entonces recordemos la siguiente construcción debida a Grothendieck:

Sea $A$ sea un álgebra conmutativa, y $X$ un $A$ -módulo. Entonces el operadores diferenciales en $X$ es el álgebra filtrada $D = D(A,X)$ dada inductivamente por: $$ D_{\leq 0} = \text{image of $ A $ in }\hom_k(X,X) $$ $$ D_{\leq n} = \{ \phi \in \hom_k(X,X) \text{ s.t. } [\phi,a] \in D_{\leq n-1}\\, \forall a\in A\} $$ $$ D = \bigcup_{n=0}^\infty D_{\leq n} $$ ( Edita: En los comentarios, Michael sugiere que $D_{\leq 0} = \hom_A(X,X)$ es la definición más estándar, y el resto es igual).

Entonces los siguientes hechos son más o menos estándar:

• Si $A$ actúa libremente sobre $X$ entonces $D_{\leq 1}$ actúa sobre $A$ mediante derivaciones. (Siempre es cierto que $D_{\leq 1}$ actúa sobre $D_{\leq 0}$ por derivaciones; la cuestión es si $D_{\leq 0} = A$ o un cociente). Si $X = A$ por multiplicación, entonces $D_{\leq 1}$ se divide como una suma directa $D_{\leq 1} = \text{Der}(A) \oplus A$ .
• Si $k=\mathbb R$ , $M$ es una variedad lisa de dimensión finita, y $A = C^\infty(M) = X$ entonces $D$ es el álgebra habitual de operadores diferenciales generada por $A$ y $\text{Vect}(M) = \Gamma(TM \to M)$ .
• Si $A,X$ son en realidad láminas, también lo es $D$ .

Así, al menos en la situación en la que $A = X = C^{\infty}(M)$ el álgebra $D$ se parece mucho al álgebra universal envolvente de $U (\text{Vect}(M))$ en particular, el mapa $U(\text{Vect}(M)) \to D$ está filtrada y es (casi) una suryección: sólo omite los elementos no constantes de $A$ . Así que cuando $A = X = C^\infty(-)$ son láminas sobre $M$ es muy tentador pensar en $D$ como una versión sheafy de $U(\text{Vect}(-))$ . Tenga en cuenta que $U(\text{Vect}(-))$ no es una gavilla: su grado $\leq 0$ consiste en funciones constantes, no localmente constantes, por ejemplo, y hay elementos distintos de cero en $U_{\leq 2}$ que restringen a $0$ en una cubierta abierta. Creo que no puede ser cierto que la sheafificación de $U(\text{Vect}(-))$ es $D$ como la sheafificación de $U_{\leq 0}$ es la gavilla localmente constante, no $C^\infty$ .

Entonces: ¿hay una descripción de $D$ que la hace más obviamente como un álgebra envolvente universal? Por ejemplo, ¿existe alguna adjunción u otra descripción categórica? ¿Es realmente cierto que $D$ es una versión "sheafy" de $U$ en un sentido preciso, ¿o se trata sólo de una quimera?

Answer 1

La construcción que buscas es el álgebra envolvente universal de un Mentira algebroide .

Un álgebra de Lie es un algebroide de Lie en un punto. Su álgebra envolvente universal como algebroide es la misma que la habitual.

Toda variedad lisa tiene una estructura algebroide de Lie en su haz tangente, cuyos operadores diferenciales son el álgebra envolvente universal.

Otro ejemplo interesante es que los TDO (gavillas de operadores diferenciales retorcidos) pueden construirse a partir de extensiones centrales del algebroide de Lie tangente mediante la gavilla de estructura (se toma UEA y luego se identifican las dos copias de la gavilla de estructura).

(Me limitaré a señalar: la respuesta de Mariano y la mía son esencialmente equivalentes. Véase la página de nLab enlazada más arriba para una breve explicación).

Answer 2

En el caso afín, de característica cero y suave, se puede obtener $\mathcal D$ como álgebra envolvente del par Lie-Rinehart $(\mathcal O_X, \mathrm{Der}(X))$ (Creo que esto es preciso sólo para las secciones globales, pero no recuerdo haber visto la noción de un par Lie-Rinehart sheaffy...).

En el caso general, las cosas son seguramente más difíciles, ya que $\mathcal D$ no se genera en general sólo a partir de derivaciones y funciones: se necesitan generadores de orden superior. (De hecho, una conjetura muy famosa de Nakai afirma que una variedad afín es suave si $\mathcal D$ está generado por funciones y derivaciones). En característica positiva, las cosas son peores, pues ya se necesitan más generadores en $\mathbb A^1$ .

PD: No puedo encontrar el Nakai's Derivaciones de orden superior, I en MathSciNet ni en Zentralblatt... No creo que se haya avanzado mucho con respecto a esa conjetura, lamentablemente (Villamayor-Mount, Becker, &c tienen casos especiales)

Answer 3

Los mapas lineales de X a X forman A-A-bimódulo o A \otimes Módulos A. Sea I el núcleo de multiplicación. Un mapa lineal es un operador diferencial si es aniquilado por una potencia de I. Se trata esencialmente de la definición de Grothendieck, retomada para que suene functorialmente.