Primero, elige un anillo conmutativo $k$ como el "campo base". Todo lo que diga será $k$-lineal, por ejemplo, "álgebra" significa "álgebra asociativa unital sobre $k$". Luego recuerda la siguiente construcción debida a Grothendieck:
Sea $A$ un álgebra conmutativa, y $X$ un módulo $A$. Entonces los operadores diferenciales en $X$ es el álgebra filtrada $D = D(A,X)$ dada inductivamente por: $$ D_{\leq 0} = \text{imagen de $A$ en }\hom_k(X,X) $$ $$ D_{\leq n} = \{ \phi \in \hom_k(X,X) \text{ tal que } [\phi,a] \in D_{\leq n-1}\\, \forall a\in A\} $$ $$ D = \bigcup_{n=0}^\infty D_{\leq n} $$ (Editar: En los comentarios, Michael sugiere que $D_{\leq 0} = \hom_A(X,X)$ es la definición más estándar, y el resto es lo mismo.)
Luego los siguientes hechos son más o menos estándar:
- Si $A$ actúa libremente en $X$, entonces $D_{\leq 1}$ actúa en $A$ por derivaciones. (Siempre es cierto que $D_{\leq 1}$ actúa en $D_{\leq 0}$ por derivaciones; la pregunta es si $D_{\leq 0} = A$ o un cociente.) Si $X = A$ por multiplicación, entonces $D_{\leq 1}$ se divide como una suma directa $D_{\leq 1} = \text{Der}(A) \oplus A$.
- Si $k=\mathbb R$, $M$ es una variedad suave de dimensión finita, y $A = C^\infty(M) = X$, entonces $D$ es el álgebra usual de operadores diferenciales generados por $A$ y $\text{Vect}(M) = \Gamma(TM \to M)$.
- Si $A,X$ son realmente haces, entonces $D$ también lo es.
Por lo tanto, al menos en la situación donde $A = X = C^{\infty}(M)$, el álgebra $D$ actúa de manera muy similar a la álgebra envolvente universal de $U (\text{Vect}(M))$; en particular, el mapa $U(\text{Vect}(M)) \to D$ es filtrado y es (casi) una sobreyección: solo omite los elementos no constantes de $A$. Entonces, cuando $A = X = C^\infty(-)$ son haces en $M$, es muy tentador pensar en $D$ como una versión "hácil" de $U(\text{Vect}(-))$. Observa que $U(\text{Vect}(-))$ no es un haz: su parte de grado $\leq 0$ consta de funciones constantes, no localmente constantes, por ejemplo, y hay elementos no nulos en $U_{\leq 2}$ que se restringen a $0$ en una cubierta abierta. Creo que no puede ser cierto que la hacialización de $U(\text{Vect}(-))$ sea $D$, ya que la hacialización de $U_{\leq 0}$ es el haz localmente constante, no $C^\infty$.
Entonces: ¿hay una descripción de $D$ que lo haga más evidentemente como un álgebra envolvente universal? Por ejemplo, ¿hay alguna adjunción u otra descripción categórica? ¿Es realmente cierto que $D$ es una versión "hácil" de $U$ en un sentido preciso, o es esto solo una quimera?
