Para un grupo de Lie arbitrario, ¿es siempre posible elegir una métrica riemanniana invariante a la izquierda tal que el operador de Laplace-Beltrami $\Delta$ viene dado por
$$\Delta f = \delta^{i j} X_i X_j f$$
para algún marco ortonormal $\{X_i\}$ de campos vectoriales de Lie?
Esencialmente, ¿podemos elegir una métrica invariante a la izquierda y un marco de Lie ortonormal tal que los símbolos de Christoffel con respecto a este marco satisfagan $\delta^{ij} \Gamma_{i j}^{~~~k}=0$ para todos los índices $k$ ?
En términos de constantes de estructura, queremos un marco de campos vectoriales de Lie tal que las constantes de estructura $\alpha_{ij}^{~k}$ para este marco satisfacen $\alpha_{ij}^{~j}=0$ (suma implícita) para todos los índices $i$ . Entonces podemos definir una métrica invariante a la izquierda que hace que este marco sea ortonormal a través de pullbacks como de costumbre.
Sé que esto es posible en $\mathbb{R}^n$ y el grupo de Heisenberg, pero ¿es posible en cualquier grupo de Lie? ¿Se requiere alguna hipótesis adicional sobre el grupo de Lie (como la unimodularidad) para que esto se cumpla?
