El problema del cierre-complemento-intersección

Question

Fondo

Sea $A$ sea un subconjunto de un espacio topológico $X$ . Un viejo problema pregunta, aplicando varias combinaciones de operaciones de cierre y complemento, cuántos subconjuntos distintos de $X$ ¿puede describirlo?

La respuesta es 14, lo que se deduce de las observaciones de que $Cl(Cl(A))=Cl(A)$ , $\neg(\neg (A)=A$ y el hecho un poco más duro de que $$ Cl(\neg (Cl(\neg (Cl(\neg (Cl(A))))=Cl(\neg (Cl(A))$$ donde $Cl(A)$ es el cierre de $A$ y $\neg (A)$ es el complemento. Esto hace que cada expresión en $Cl$ y $\neg$ equivalente a una de las 14 expresiones posibles, y todo lo que queda es producir una elección específica de $A$ lo que hace que las 14 posibilidades sean distintas. Este problema recibe el nombre de Problema del complemento de cierre de Kuratowski desde que Kuratowski la enunció y resolvió por primera vez en 1922.

El problema

Hace poco surgió un problema muy similar en una discusión que se basaba en un modelo topológico para la lógica modal (aunque la conexión lógica no está relacionada con la cuestión básica). La idea era tomar un subconjunto $A$ de $\mathbb{R}$ y considerar todas las expresiones posibles en $A$ consistente en cierre, complemento e intersección. Para que quede claro, se nos permite tomar el complemento o el cierre de cualquier subconjunto que ya hayamos construido, y se nos permite intersecar dos subconjuntos cualesquiera que ya hayamos construido.

La cuestión: ¿Es esta colección de subconjuntos siempre finita?

Una pregunta potencialmente más difícil: Si hay varios subconjuntos iniciales $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ ... (finito en número), ¿es esta colección de subconjuntos siempre finita?

La primera pregunta es esencialmente la pregunta Kuratowski, con la operación añadida de la intersección. También está la cuestión estrechamente relacionada (pero un poco más fuerte) de si hay un número finito de formalmente expresiones distintas en un subconjunto indeterminado $A$ (o una colección de subconjuntos $A_1$ , $A_2$ ...).

Algunas reflexiones

Mi respuesta a ambas preguntas es sí, pero el truco está en demostrarlo. Puedo poner como ejemplo un conjunto $A$ que realiza las 14 posibilidades del problema de Kuratowski, y demostrar que la colección de subconjuntos distintos que puedo construir a partir de ella es finita. Sin embargo, el hecho de que dicho conjunto capture todos los fenómenos interesantes que pueden ocurrir cuando se cierran y complementan, no significa que a este ejemplo le falte una propiedad que sólo es importante cuando se intersecan.

También parece difícil abordar este problema formalmente. El problema es que hay muchas intersecciones no triviales de las 14 expresiones procedentes del teorema de Kuratowski. Entonces, cada una de estas intersecciones podría tener potencialmente su propio conjunto nuevo de 14 expresiones posibles utilizando cierres y complementos. En algunos ejemplos, las intersecciones no aportan el número total de 14 conjuntos nuevos, pero es difícil demostrarlo aparte de un análisis caso por caso.

Answer 1

A partir de un conjunto, se pueden generar infinitos conjuntos.

Sea A un conjunto cerrado de infinitos Rango Cantor-Bendixon . Es decir, las sucesivas derivadas finitas de Cantor-Bendixon A', A'', etc. son todas distintas. El rango de un elemento x en A es el menor n tal que x queda aislado en A n donde A 0 \= A y A n+1 \= A', el conjunto de puntos límite de A n . Así, los elementos de rango 0 son los puntos aislados de A, y los elementos de rango 1 son los límites de estos puntos que no son límites de puntos límite de A, y así sucesivamente.

Sea B el subconjunto de A formado por los elementos de A de rango par. Esto incluye todos los puntos aislados de A, pero no sus límites que no son límites de límites, pero sí incluye los límites de límites (siempre que no sean límites-de-límites-de-límites) y así sucesivamente. Define la operación B+ = cl(B) - B, que se obtiene a partir de tus operaciones. Obsérvese que cl(B) = A, y que B+ está formado por todos los elementos de A que tienen rango impar en A. Análogamente, B++ = cl(B+) - B+ está formado por todos los elementos que tienen rango impar en cl(B+) = A', que son exactamente aquellos elementos de A que tienen rango par al menos 2 en A. Y así sucesivamente. El conjunto B+ n consistirá en todos los elementos de A que tengan rango al menos n+1, que tienen rango par/impar dependiendo de la paridad de n. Como A tiene rango infinito, estos conjuntos serán todos distintos.

Así, el conjunto B genera infinitos conjuntos distintos B, B+, B++, B+++, etc.

Answer 2

Desgraciadamente, ¡el álgebra de cierre libre con un solo generador es infinita! Así lo demostraron McKinsey y Tarski en su clásico artículo El álgebra de la topología (Anales de Matemáticas 45, 1944, MR0009842 ).

Answer 3

Como mencionó François, en 1922 Kuratowski dio el primer ejemplo publicado de un conjunto de espacio y semilla $x_0$ tal que la secuencia $\lbrace x_i\rbrace$ es infinito, donde $x_{i+1}=x_i\cap cl(cl(x_i)-x_i)$ .

Las siguientes ecuaciones dan una idea más detallada de por qué la secuencia es infinita:

espacio = $\lbrace1,2,3,\ldots\rbrace$
topología = $\lbrace {\rm space}, \lbrace \rbrace ,\lbrace 1\rbrace ,\lbrace 1,2\rbrace ,\lbrace 1,2,3\rbrace ,\ldots\rbrace $
$x_0=\lbrace 2,4,6,\ldots\rbrace $
$cl(x_0)=\lbrace 2,3,4,\ldots\rbrace $
$y=cl(x_0)-x_0=\lbrace 3,5,7,\ldots\rbrace $
$cl(y)=\lbrace 3,4,5,\ldots\rbrace $
$x_0\cap cl(y)=\lbrace 4,6,8,\ldots\rbrace $
$\ldots$