Encontrar el máximo de una función 4

Question

Me gustaría que alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema

P: Encuentra el máximo de $$f(x) =\frac{x-\ln(1+x)}{x\ln(1+x)};\quad(x>0)$$

Answer 1

Hay un truco aquí. De hecho, $f'（x）<0 \implies f_{max} =\lim_{x\to -1} f(x)=1$

$f'(x)<0 \iff \dfrac{1}{(x+1)(\rm{ln}(x+1))^2}>\dfrac{1}{x^2} \iff |\rm{ln}(x+1)|<\dfrac{|x|}{\sqrt{x+1}} \iff

caso 1: $x>0, \iff \rm{ln}(x+1)<\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}

$g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}-\rm{ln}(x+1),g'(x)=\dfrac{x+2-2\sqrt{x+1}}{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}=\dfrac{(1-\sqrt{x+1})^2}{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}>0 \implies g(x)\ge g(0)=0 \implies \rm{ln}(x+1)<\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}$

caso 2: $-1\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}

$g'(x)>0 \implies g_{max}=g(0)=0 \implies g(x)<0 \implies \rm{ln}(x+1)>\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}$

entonces $f'(x)<0

puede ser necesario comprobar el hueco $f(0)=\dfrac{1}{2}$, eso está bien.

Answer 2

PISTA: Reescribe $f$ como $f(x)=\frac{1}{\rm{ln}(x+1)}-\frac{1}{x}$. Puedes considerar $f'(x)=\frac{-1}{(x+1)(\rm{ln}(x+1))^2}+\frac{1}{x^2}$.