Mapas que inducen cero en grupos de homotopía pero no son homotópicos nulos

Question

Hoy mi compañero de posgrado me ha hecho una pregunta, dado un mapa f de X a Y, supongamos $f_*(\pi_i(X))=0$ en Y, ¿cuándo es f nulo-homotópica?

Busco un poco en la literatura, D.W.Kahn

http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.pjm/1102995805

Y M.Sternstein ha trabajado en esto, y Sternstein incluso obtuvo una condición necesaria y suficiente, para espacios adecuados.

http://www.jstor.org/stable/pdfplus/2037939.pdf

Sin embargo, su condición es un poco complicada para mí como principiante. Ahora mismo sólo quería un contraejemplo de un mapa de este tipo. Kahn en su artículo dice que uno puede tener muchos ejemplos de este tipo utilizando los espacios de Eilenberg Maclance. Bueno, ciertamente podemos demostrar que muchos mapas entre espacios E-M inducen un mapa nulo en grupos homopotópicos sólo por puras razones de teoría de grupos, pero no se me ocurre un ejemplo fácil en el que se pueda demostrar que ese mapa, si existe, no es nulo-homotópico. ¿Podría alguien darme alguna pista?

o, ¿quizás incluso algunos ejemplos que surjan de los colectores?

Answer 1

Para un ejemplo más explícito que el de Chris, consideremos el mapa del toro (bidimensional) a una esfera que colapsa el 1-esqueleto del complejo CW habitual y lleva la 2-célula a la 2-célula de la esfera. El toro es $K(\mathbb{Z}^2,1)$ por lo que necesariamente da mapas nulos en homotopía, pero también es bastante claro que no es nulo-homotópico.

Answer 2

Consideremos la cohomología singular ordinaria con coeficientes variables. Puedes mirar la secuencia exacta corta de grupos abelianos:

$$0 \to \mathbb{Z}/2 \to \mathbb{Z}/4 \to \mathbb{Z}/2 \to 0$$

Esto da lugar, para cualquier espacio X, a una breve secuencia exacta de complejos encadenados:

$$0 \to C^i(X;\mathbb{Z}/2) \to C^i(X;\mathbb{Z}/4) \to C^i(X;\mathbb{Z}/2) \to 0$$

y por lo tanto se obtiene una secuencia exacta larga en cohomología. Así obtenemos un interesante mapa de frontera conocido como el Bockstein

$$H^i(X; \mathbb{Z}/2) \to H^{i+1}(X; \mathbb{Z}/2).$$

Esto es natural en X y, por tanto, está representado por una (clase de homotopía de) mapa(s) de espacios de Eilenberg-Maclane:

$$K(i, \mathbb{Z}/2) \to K(i+1, \mathbb{Z}/2)$$

Este mapa es necesariamente cero en grupos homotópicos. Para demostrar que este mapa no es de homotopía nula, basta con encontrar un espacio para el que el Bockstein no sea trivial. Hay muchos ejemplos de esto. En lugar de explicar uno, te sugiero que busques "homomorfismo de Bockstein" en una referencia estándar de topología algebraica, por ejemplo, el libro de Hatcher.

Answer 3

Aunque pidas que $f$ induce mapas triviales en todos los grupos (singulares) de homología y cohomología, todavía hay ejemplos de manifold fáciles. (De hecho, esto se plantea como ejercicio en el AT de Hatcher).

Por ejemplo $f:T^3\rightarrow S^2$ sea la composición $T^3\rightarrow S^3\rightarrow S^2$ donde el mapa de $T^3$ a $S^3$ es simplemente colapsar el 2-esqueleto a un punto, y el mapa de $S^3$ a $S^2$ es el mapa de Hopf.

Como otros han mencionado, ya que $T^3$ es un $K(\mathbb{Z}^3, 1)$ se deduce que $f$ induce mapas triviales en grupos de homotopía.

Dado que el mapa de Hopf induce mapas triviales en homología y cohomología, se deduce que $f$ también lo hace.

Por último, ver que $f$ NO es nulohomotópico, asume que lo es. Dado que el mapa de $S^3$ a $S^2$ es un haz de fibras, tiene la propiedad de elevación homotópica. Por lo tanto, podemos elevar la homotopía de $f$ a una homotopía $G:I\times T^3\rightarrow S^3$ donde $G_0$ es el mapa anterior de $T^3$ a $S^3$ y $G_1$ es un mapa de $T^3$ a $S^1\subseteq S^3$ la preimagen de un punto en $S^2$ bajo el mapa de Hopf.

Pero $G_0$ tiene grado 1, mientras que $G_1$ tiene grado 0, una contradicción.

Answer 4

Me doy cuenta de que esta pregunta es muy antigua. No obstante, he aquí una clase de ejemplos amplia, fácil y bien conocida.

Sea $X$ sea un complejo CW conexo, y consideremos el mapa diagonal $\delta_X\colon X\to X\wedge X$ en el producto smash (es decir, el compuesto de $X\xrightarrow{\text{diag}} X\times X \xrightarrow{\text{quot}} X\wedge X$ ).

Este mapa es a menudo no nulo: por ejemplo, $$ \widetilde{H}^*(X)\otimes \widetilde{H}^*(X)\xrightarrow{\text{Kunneth}} \widetilde{H}^*(X\wedge X)\xrightarrow{\delta_X} \widetilde{H}^*(X) $$ es exactamente el producto taza, por lo que cualquier $X$ con producto de copa no trivial en grados positivos debe tener $\delta_X$ .

Por otro lado, $\delta_X$ es siempre trivial en grupos homotópicos: cualquier $f\colon S^k\to X$ encaja en el cuadrado conmutativo $$\begin{array}{ccc} S^k & \xrightarrow{\delta_{S^k}} & S^k\wedge S^k \\ \downarrow & & \downarrow \\ X & \xrightarrow{\delta_X} & X\wedge X \end{array} $$ et $\delta_{S^k}\sim *$ para $k\geq 1$ . De hecho, esta idea demuestra que cualquier compuesto $\Sigma Y\to X\xrightarrow{\delta_X} X\wedge X$ es nulo, o equivalentemente que $\Omega(\delta_X)\colon \Omega X\to \Omega(X\wedge X)$ es nulo-homotópico para cualquier $X$ .

Answer 5

Pregunté a pregunta muy similar hace unos meses, y obtuve algunas respuestas excelentes.