¿Es correcta esta demostración de libro de texto del Tercer Teorema del Homomorfismo de grupos?

Question

Estoy leyendo Álgebra abstracta 3ª edición de Herstein. En la página 87 (en la sección 2.7) afirma el Teorema del Tercer Homomorfismo así:

Si el mapa $\phi:G \rightarrow G'$ es un homomorfismo de $G$ en $G'$ con núcleo $K$ entonces, si $N' \lhd G'$ y $N = \{a \in G \mid \phi (a) \in N' \}$ concluimos que $G/N \simeq G'/N'$ . Equivalentemente, $G/N \simeq (G/K)/(N/K)$ .

Demuestra que $G/N \simeq G'/N'$ definiendo el mapa $\psi:G \rightarrow G'/N'$ por $\psi(a) = N'\phi(a)$ y mostrando que es un homomorfismo suryectivo con núcleo igual a $N$ y así $G/N \simeq G'/N'$ por el Teorema del Primer Homomorfismo. Todo esto me parece bien.

Pero en cuanto a la última afirmación de su teorema, sólo dice:

Por último, de nuevo por los teoremas 2.7.1 [Teorema del primer homomorfismo] y 2.7.2 [Teorema de la correspondencia], $G' \simeq G/K$ , $N' \simeq N/K$ lo que nos lleva a $G/N \simeq G'/N' \simeq (G/K)/(N/K)$ .

Entiendo que $G' \simeq G/K$ y $N' \simeq N/K$ pero no veo cómo eso implica $G'/N' \simeq (G/K)/(N/K)$ . Intenté demostrar este teorema general: Si $A \lhd G, B \lhd H, A \simeq B$ y $G \simeq H$ entonces $G/A \simeq H/B$ . Entonces me di cuenta de que no es cierto. Un contraejemplo sencillo es el siguiente $G = H = \mathbb{Z}$ , $A = \mathbb{Z}$ y $B = 2\mathbb{Z}$ .

¿Piensa Herstein erróneamente que esta afirmación a la que acabo de dar un contraejemplo es un teorema? ¿O hay alguna otra razón para su conclusión final?

Por cierto, me di cuenta de cómo probar $G/N \simeq (G/K)/(N/K)$ directamente sin probar primero $G/N \simeq G'/N'$ primero. Por lo tanto, la validez de su teorema original no es un problema para mí.

Gracias por cualquier ayuda que puedan prestarme.

Answer 1

La cuestión es que los isomorfismos $\psi:G/K\to G'$ y $\psi_1:N/K\to N'$ son conectado debido a la definición de $N$ a saber $\psi_1$ es el restricción de $\psi$ a $N/K$ .
Esta condición adicional le permite probar la reclamación en sí misma.

Answer 2

Soy Quang. Es agradable ver su puesto aquí :D

Así que el problema con tu ejemplo es que el isomorfismo de $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{2Z} $ no es una restricción del isomorfismo de $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ si lo eliges como mapa de identidad. Así que, en general, si $G \simeq H$ (vía $\psi: G \rightarrow H$ ), $A \simeq B,$ donde $A, B$ son subgrupos normales de $G, H$ respectivamente, y $\psi(A)= B$ entonces tienes un diagrama conmutativo:

$\require{AMScd}$ \begin{CD} G @>{\psi}>> H\\ @VVV @VVV\\ G/A @>{\psi'}>> H/B \end{CD} donde $\psi'$ se induce a partir de $\psi$ por: $\psi'[g]= [\psi(g)]$ y si $[a] = [b]$ en $G/A$ entonces $ab^{-1} \in A$ lo que implica $\psi(ab^{-1})= \psi(a) \psi(b^{-1}) \in B$ lo que implica $\psi'$ está bien definido y el diagrama es conmutativo. Ahora bien, $\psi'$ es obviamente onto ya que $\psi$ es un isomorfismo y ambos mapas cocientes son onto. $\psi'$ también es inyectiva, ya que el núcleo de $\psi'$ es { $[g]: \psi(g) \in B$ }, que es la identidad en $G/A$ .

En su caso, la restricción del isomorfismo $G' \rightarrow G/K $ es $N' \rightarrow N/K$ por lo que la afirmación es correcta.