Teorema de Hausdorff para cualquier orden lineal

Question

He leído esta pregunta:

¿Algún buen teorema de descomposición para órdenes totales?

y las respuestas. Me gusta mucho el teorema de Hausdorff para el orden lineal disperso. Lo repito aquí :

Teorema (Hausdorff). Un orden lineal es disperso si su tipo de orden está en algún $S_\alpha$ ( $\alpha$ un ordinal), donde:

• $S_0=\{0,1\}$

• Para $\alpha>0$ , $S_\alpha$ es la clase más pequeña obtenida Si $\gamma$ es un ordinal, $I$ es $\gamma$ , $\gamma^*$ o $\gamma^*$ + $\gamma$ y para cada $i \in I$ el orden lineal $L_i$ está en $\bigcup_{\beta < \alpha} S_\beta$ entonces $\sum_{i \in I} L_i \in S_\alpha$ .

Me preguntaba si es posible una caracterización similar para cualquier orden Lineal (digamos contable para hacerlo más sencillo), añadiendo por ejemplo $\eta$ (El tipo de orden de los racionales) a $S_0$ .

Answer 1

En realidad, basta con permitir una orden densa sólo en la fase final.

Sea $\langle X,\le\rangle$ ser un orden lineal. Citaré una construcción de un viejo papel mío :

Supongamos que $R$ es una relación de equivalencia convexa en $X$ es decir, una relación de equivalencia con clases de equivalencia convexas. En $x\in X$ , dejemos que $R(x)=\{y\in x:x\mathbin{R}y\}$ ya que $R$ es convexa, $X/R=\{R(x):x\in X\}$ es la imagen de $X$ bajo un homomorfismo de orden por el que si $R(x)\ne R(y)$ entonces $R(x)\le R(y)$ si $x\le y$ . Definimos de $R$ una nueva relación de equivalencia, $R^*$ el $X$ como sigue. Si $x,y\in X$ con $x\le y$ , poner $x\mathbin{R^*}y$ si existe una familia finita $\{x_0,\ldots,x_n\}\subseteq X$ tal que $x=x_0\le x_1\le\ldots\le x_n=y$ , $[x_i,x_{i+1}]/R$ es un bien ordenado si $i<n$ es par, y $[x_i,x_{i+1}]/R$ es un pozo invertido si $i<n$ es impar; y si $y<x$ , poner $x\mathbin{R^*}y$ si $y\mathbin{R^*}x$ . Claramente $R\subseteq R^*$ , $R^*$ es una relación de equivalencia convexa en $X$ .

Ahora dejemos que $R_0$ sea la relación de identidad en $X$ y, para cada ordinal $\alpha>0$ , dejemos que $R_\alpha=\left(\bigcup\{R_\xi^*:\xi<\alpha\}\right)^*$ entonces cada $R_\alpha$ es una relación de equivalencia convexa en $X$ y $R_\alpha\subseteq R_\beta$ siempre que $\alpha<\beta$ . Defina $r(X)=\inf\{\alpha:R_\alpha=R_{\alpha+1}\}$ claramente $r(X)$ existe, ya que de hecho debe ser menor que $|X|^+$ . Obsérvese también que si $\alpha=r(X)$ entonces $|X/R_\alpha|=1$ (es decir, $R_\alpha=X\times X$ ), o $X/R_\alpha$ es un orden lineal denso; y que $X$ está dispersa si $|X/R_\alpha|=1$ .

Supongamos que $X/R_\alpha$ es un orden lineal denso, y sea $x\in X$ . Entonces $R_\alpha(x)$ es un subconjunto convexo de $X$ y $|R_\alpha(x)/R\alpha|=1$ Así que $R_\alpha(x)$ se dispersa, y $X$ es, por tanto, una suma densamente ordenada de órdenes dispersos. En particular, si $|X|=\omega$ y $X$ no está dispersa, entonces $X/R_\alpha$ debe ser uno de los cuatro tipos de orden denso contable, $\eta$ , $\eta+1$ , $1+\eta$ o $1+\eta+1$ .

Se puede extraer más información de la construcción anterior, pero hay una forma más sencilla de llegar a la misma conclusión. Sea $\mathscr{D}$ sea el conjunto de subconjuntos densamente ordenados de $X$ . Si $\mathscr{D}=\varnothing$ , $X$ está, por supuesto, dispersa. En caso contrario podemos utilizar el lema de Zorn para obtener un subconjunto maximal densamente ordenado $D$ de $X$ . Para cada $x\in D$ deje $R(x)=\bigcap\{(u,v):u,v\in D\text{ and }u<x<v\}$ cada uno $R(x)$ es un subconjunto disperso y convexo de $X$ y $X=\sum_{x\in D}R(x)$ es una suma densamente ordenada de estos órdenes dispersos.