¿Cuándo es no singular una ampliación?

Question

Supongamos que $X$ es una variedad no singular y $Z \subset X$ es un subesquema cerrado. ¿Cuándo se produce la ampliación $\operatorname{Bl}_{Z}(X)$ ¿no singular?

La expansión de una variedad no singular a lo largo de una subvariedad no singular es bien conocida por ser no singular, así que la verdadera pregunta es ``qué pasa cuando $Z$ es singular?" El reventón puede ser singular en el caso de que $X = \mathbb{A}^{2}$ y $Z$ se define por el ideal $(x^2, y)$ espectáculos. Por otra parte, el ejemplo en el que $Z$ se define por el ideal $(x,y)^2$ muestra que la ampliación puede ser no singular.

Edita: Basándome en los comentarios de Karl Schwede y VA, creo que también sería interesante encontrar ejemplos no triviales de apropiados $Z$ 's. Estoy dividiendo esto como un pregunta aparte. En los comentarios allí, los usuarios quim y Karl Schwede dicen un poco sobre lo que se puede decir sobre esta cuestión utilizando la factorización de Zariski.

Answer 1

Una observación topológica:

Si $E \subset Y$ es un subespacio analítico cerrado de un espacio liso $X$ entonces el límite de una vecindad tubular es un haz de esferas (impar dimensional, real) sobre $E$ .

Por lo tanto, si la explosión de $Z \subset X$ es lisa, entonces la frontera de un tubular tubular de $Z \subset X$ puede escribirse como un haz de esferas sobre la excepcional divisor $E = P(N_Z X)$ .

Se podría utilizar esto para llegar a una contradicción, por ejemplo, calculando la cohomología.

Mumford utilizó ideas similares en su estudio de las singularidades de las superficies normales. Mumford: La topología de las singularidades normales de una superficie algebraica y un criterio de simplicidad.