¿Cuándo es no singular una ampliación?

Question

Supongamos que $X$ es una variedad no singular y $Z \subset X$ es un subesquema cerrado. ¿Cuándo se produce la ampliación $\operatorname{Bl}_{Z}(X)$ ¿no singular?

La expansión de una variedad no singular a lo largo de una subvariedad no singular es bien conocida por ser no singular, así que la verdadera pregunta es ``qué pasa cuando $Z$ es singular?" El reventón puede ser singular en el caso de que $X = \mathbb{A}^{2}$ y $Z$ se define por el ideal $(x^2, y)$ espectáculos. Por otra parte, el ejemplo en el que $Z$ se define por el ideal $(x,y)^2$ muestra que la ampliación puede ser no singular.

Edita: Basándome en los comentarios de Karl Schwede y VA, creo que también sería interesante encontrar ejemplos no triviales de apropiados $Z$ 's. Estoy dividiendo esto como un pregunta aparte. En los comentarios allí, los usuarios quim y Karl Schwede dicen un poco sobre lo que se puede decir sobre esta cuestión utilizando la factorización de Zariski.

Answer 1

No hay un criterio general, que yo sepa, todo es probar y ver.

Cualquier morfismo proyectivo birracional $f:X\to Y$ entre variedades es la expansión de algunos gavilla de ideales $I$ en $Y$ para que veas que puede pasar cualquier cosa.

Answer 2

Craig Huneke me habló de esto papel : "Sobre la suavidad de las explosiones" ( MR1446135 , Zbl 0878.13004 de O'Carroll y Valla). Sólo el título parece sugerir que podría serte útil.

Answer 3

Aunque hay una buena razón para que $(x,y)^2$ tiene un reventón suave. Es una potencia de un ideal que a su vez tiene un desdoblamiento suave. Véase, por ejemplo, Hartshorne, Algebraic Geometry, capítulo II, sección 7, ejercicio 7.11.

Sospecho que, en superficies lisas, probablemente se pueda decir más, mediante ideas del tipo "factorización de Zariski", pero no estoy seguro de cuál sería la respuesta correcta.

Edición: He buscado por ahí una buena referencia sobre la "factorización Zariski", pero no estoy seguro de cuál es una buena. ¿Alguien sabe?

Answer 4

Para los ideales monomiales existe un criterio combinatorio de suavidad, véase "Blowups in tame monomial ideals" https://arxiv.org/abs/0905.4511

Answer 5

Sin embargo, para el caso de curvas planas singulares $C\subset \mathbb{P}^2$ el resultado es bien conocido. La explosión del plano proyectivo en sí es no singular sí, pero ¿qué pasa con la imagen de la curva $C$ en la explosión? Es decir, la transformación adecuada de $C$ ? ¿Esta transformación es correcta? $\tilde{C}$ ¿Suave? Tal información se encuentra en la intersección de $\tilde{C}\cap E$ donde $E$ es el divisor excepcional de la explosión. Básicamente, si esta intersección sigue siendo singular, tendrá que blowup de nuevo hasta el punto de obtener punto suave dentro de tales intersecciones. Este es un proceso finito debido al hecho de que cada vez que se amplía la curva $C$ el género aritmético disminuye en uno. Como no hay género aritmético negativo, eso significa que el proceso tiene que terminar finalmente. Nótese, sin embargo, que la (potencial) curva suave $\tilde{C}$ ya no viven en el plano proyectivo. Puede devolverlo a $\mathbb{P}^2$ pero el precio a pagar es que puedes volver a conseguir puntos singulares. Estos puntos singulares, sin embargo, a veces son más leves que los originales. Pero, al fin y al cabo, algo hemos conseguido. Esto puede entenderse en términos de transformaciones de Cremona del plano. He aquí un ejemplo de este fenómeno:

$$X^2Y^2+X^2+Y^2=0$$ es singular en $[0:0:1]$ . Aplicar la transformación cremona (que es un mapa racional de $\mathbb{P}^2$ a sí mismo) $$\phi:[x:y:z]\mapsto [\tfrac{1}{x}:\tfrac{1}{y}:\tfrac{1}{z}]$$ . Bajo tal mapa la curva $C$ se convierte en cónica $Z^2+X^2+Y^2=0$ que sí es suave. Según otra respuesta anterior, a grandes rasgos, este mapa racional corresponde a la expansión $\mathbb{P}^2$ en $[1:0:0],[0:1:0],[0:0:1]$ . Por eso en $\phi$ la curva singular $C$ mapas a uno liso.