¿Es cierto que para infinitos valores de $n$ la suma de dígitos de $2^n$ es mayor que para $2^{n+1}$ ?

Question

Dejemos que $S(n)$ denotan la suma de dígitos de los enteros $n$ utilizando la base $10$ . Cómo demostrar que existen infinitos números naturales tales que $S(2^n)>S(2^{n+1})$ ?

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Observaciones (de Deven Ware):

1. Esto no es cierto en la base $2$ porque entonces la suma de dígitos es siempre $1$ .

2. $S(2^n)$ nunca es igual a $S(2^{n+1})$ porque los poderes difieren $\bmod 3$ .

Answer 1

Ampliando la observación de Deven Ware: asumiendo $S(2^n)$ es eventualmente no decreciente, no sólo aumentaría estrictamente, sino que podemos dar un límite inferior no trivial a su tasa de crecimiento.

Mod de trabajo $3$ por ejemplo, obsérvese que si para algunos $m$ , $S(2^m) \equiv 2 \pmod 3$ entonces $S(2^{m+1}) \equiv 1 \pmod 3$ Así que si $S(2^{m+1}) > S(2^m)$ entonces, de hecho $S(2^{m+1}) \ge S(2^m)+2$ . Podemos ver fácilmente que esto lleva a un límite inferior de $$S(2^n) \ge \tfrac32 n + O(1),$$ que es más fuerte que el $n+O(1)$ límite inferior que se obtiene al ser estrictamente creciente.

Por otra parte, dado que $2^n$ tiene $\frac{\log 2}{\log 10}n + O(1)$ dígitos, tenemos un límite superior de $$S(2^n) \le 9\frac{\log 2}{\log 10}n + O(1) < 2.71n + O(1).$$ Esto no contradice nuestro límite inferior de $S(2^n) \ge \tfrac32 n + O(1)$ pero mira lo que pasa cuando trabajamos con el módulo $9$ en su lugar:

La secuencia $\{2^n\}$ ciclos modulo $9$ como $1,2,4,8,7,5,1,\ldots$ y $\{S(2^n)\}$ sigue exactamente el mismo ciclo. Sin embargo, si suponemos $S(2^n)$ es (eventualmente) no decreciente, entonces, partiendo de cualquier tamaño suficientemente grande $m$ tal que $S(2^m) = 9k+1$ tenemos la cadena de desigualdades:

\begin {align} S(2^{m+1}) & \ge 9k+2, \\ S(2^{m+2}) & \ge 9k+4, \\ S(2^{m+3}) & \ge 9k+8, \\ S(2^{m+4}) & \ge 9k+16, \\ S(S^{m+5}) & \ge 9k+23, \\ S(S^{m+6}) & \ge 9k+28, \end {align}

lo que arroja un límite inferior de $S(2^n) \ge \frac{27}{6} n + O(1) = 4.5n + O(1)$ . Esto contradice el límite superior del número de dígitos, por lo que efectivamente $S(2^n)$ debe disminuir infinitamente a menudo.

¿De qué tarea es esto? La verdad es que es una pregunta bastante bonita, y me alegra y me impresiona que se pueda responder con métodos tan elementales.