Pregunta:
El logaritmo de Napier puede definirse del siguiente modo:
$$Nap.log~x = 10^7 \ln \frac{10^7}{x}$$
Demuestra las siguientes reglas:
a) $$Nap.log~xy = Nap.log~x + Nap.log~y - Nap.log~1$$
b) $$Nap.log~\frac{x}{y} = Nap.log~x - Nap.log~y + Nap.log~1$$
c) $$Nap.log~x^a = a \cdot Nap.log~x + (1-a) Nap.log~1$$
Intento de respuesta:
El planteamiento básico consiste en utilizar la definición de logaritmo de Napier para convertirlo a logaritmo natural, reordenarlos y demostrar que los resultados pueden convertirse de nuevo a logaritmo de Napier para cumplir las reglas que hay que demostrar.
a)
$$Nap.log~xy = 10^7 \ln \frac{10^7}{xy} = 10^7 \ln \frac{10^7}{x} + 10^7 \ln \frac{10^7}{y} - 10^7 \ln 10^7$$ $$ = Nap.log~x + Nap.log~y - Nap.log~1$$
b) Para esta ley, me limitaré a utilizar el truco de que x dividido por y es lo mismo que multiplicar x por el recíproco de y:
$$Nap.log~\frac{x}{y} = Nap.log~(x \cdot \frac{1}{y}) = Nap.log~x + Nap.log~\frac{1}{y} =$$ $$ Nap.log~x - Nap.log~y + Nap.log~1$$
c) Esta es un poco complicada para mí. Puedo decir que debe implicar usar el logaritmo estándar para el exponente y moverlo hacia abajo como factor, pero no tengo del todo claro cómo aplicarlo. Esto es lo que tengo hasta ahora:
$$Nap.log~a^x = 10^7 ln \frac{10^7}{x^a} = 10^7 \ln 10^7 - 10^7 \ln x^a = 10^7 \ln 10^7 - a \cdot 10^7 \ln x $$
...pero esto no parece funcionar fácilmente. ¿Cómo concluyo esta última parte de la pregunta?
