Cómo demostrar que si una función $f$ a partir de un conjunto finito $X$ a $X$ es suryectiva, entonces $f$ es inyectiva.

Question

Sé que esta pregunta ya se ha hecho antes ( La subjetividad implica inyectividad ), pero no estoy satisfecho con la respuesta, porque, define una "función" $g$ tal que si $f(z) = x$ entonces $g(x) = z$ . Pero $g$ es una función, sólo si $f$ es inyectiva, y eso es lo que estamos tratando de demostrar, por lo que no se puede utilizar. De hecho, si $f(x) = f(y) = r$ y $x \not = y$ entonces $g(r) = x$ y $g(r) = y$ y $g$ no es una función.

Ahora, he demostrado que si $f$ es inyectiva, entonces es suryectiva.

Sea X un conjunto de orden $n$ y $f:X \rightarrow X$ una función inyectiva. Primero supuse $f$ no es inyectiva, por lo tanto, existe un $z\in X$ tal que $z\not = f(x) \ \forall x\in X$ en particular $z\not = f(z)$ . A continuación, definí el conjunto $B= \{f(z), f^2(z), f^3(z), ... f^n(z)\}$ y demostró que, de hecho, era igual a X. Pero, podemos notar que $z\not = f^i(z) \ \forall i \leq n$ entonces $z\not \in B = X$ y hemos llegado a una contradicción, ya que partimos diciendo que $z\in X$ Por lo tanto $f$ es suryectiva.

Ahora bien, ¿cómo se procedería para mostrar la contraparte?

Answer 1

Utiliza el hecho de que el dominio y el rango tienen el mismo número de elementos. Dado que cada elemento en el rango es alcanzado por la función cuando asumimos surjectivity y cada elemento en el dominio es enviado a un solo elemento en el rango por la definición de una función, entonces ¿qué podemos concluir con respecto a la inyectabilidad?