El método que yo he sido enseñado para encontrar todos los autovalor soluciones a Bessel del operador $$b(f)\equiv f''(x)+\frac{1}{x}f'(x)$$ goes as follows. Let $g(a)=f(\sqrt{\lambda}x)$. Then $$b(g)=\lambda g(a)$$ $$\lambda \frac{d^2g}{da^2}+\frac{\sqrt{\lambda}}{x}\frac{dg}{da} -\lambda g(a)=0$$ $$\frac{d^2g}{da^2}+\frac{1}{a}\frac{dg}{da}-g(a)=0$$ We can then solve this equation for $g(a)$ and apply the inverse change of variables to yield all of our eigenfunctions. My question is: what kind of transformation is this change of variables applying to our Hilbert Space? I would think that, given the nice algebraic properties of the operator (call it $M_a(\cdot)$) which when applied to some function $h(x)$ returns $h(a)$, it would be fairly straightforward to describe, but I'm not seeing it. It almost feels like we're applying a Mobius transform on our Hilbert Space where every for every function $f(x) \in H$, there are two subspaces in $H$, one which corresponds to the scaling of $f(x)$ and another which corresponds to evaluating $f(x)$. Por extensión, ¿qué tipo de operadores lineales pueden tener sus funciones propias encontrado en este camino? Me gustaría pensar que hay algo análogo a la polinomio característico método finito dimensionales de álgebra lineal pasando aquí, pero no puedo poner mi dedo en él. Cualquier y todas las ideas son bienvenidas, aunque geométricas argumentos son algo de una prima aquí.
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El operador de Bessel $Lf = -(xf')'$ que se aplica a funciones en $(0,\infty)$ tiene una buena escala de la propiedad. Definir $S_{\alpha}$ actuando en tales funciones por $(S_{\alpha}f)(x)=f(\alpha x)$$0 < \alpha < \infty$. Entonces \begin{align} LS_{\alpha}f & = -x\frac{d^{2}}{dx^{2}}f(\alpha x) -\frac{d}{dx}f(\alpha x) \\ & = -x \alpha^{2}f''(\alpha x)-\alpha f'(\alpha x) \\ & = \alpha S_{\alpha}\{-xf''(x)-f'(x)\} \\ & = \alpha S_{\alpha} Lf. \end{align} Por lo tanto, si usted tiene una solución $Lf = \lambda f$$(0,\infty)$, luego $$ LS_{\alpha} f = \alpha\lambda S_{\alpha}f $$ Así que la solución de $Lf=\lambda f$ puede ser utilizado para obtener una solución de $Lf=\alpha\lambda f$ por cada $\alpha > 0$. Esto tiene que ver con la radial propiedades de escala de la Laplaciano, que son heredados por el operador de Bessel en la radial variable. Si usted tiene dos soluciones linealmente independientes de a$Lf=f$$(0,\infty)$, entonces usted tiene todas las soluciones de $Lf=\alpha f$ para todas las $\alpha > 0$.
Conocer a dos soluciones linealmente independientes de a$Lf=\lambda f$$(0,\infty)$, se puede llegar a todos ellos para todos los parámetros $\lambda$. Puede restringir a un intervalo si lo desea. Si usted desea encontrar el valor propio de la función que se desvanece en $x=b$, entonces se puede aplicar $S_{\alpha}$ a la eigenfunction $Lf=\lambda f$ y ajustar a $\alpha$ hasta $f(\alpha b)$ golpea a un cero de $f$. Y este es el método general para tratar con la ecuación de Bessel. La acción de la radial escala de grupo debe actuar sobre los subespacios propios; este es un principio general.
