Demuestra que $u\times v+v\times w+w\times u=\textbf{0}$ implica que $u,v,w$ dependen linealmente

Question

Tengo lo que creo que podría ser una solución, pero no estoy seguro de que sea lo suficientemente formal. Empiezo por señalar que $u,v,w$ son linealmente dependientes si se encuentran en el mismo plano. Entonces construyo la siguiente cadena de equivalencias:

\begin{align*} u\times v+v\times w+w\times u=\textbf{0}&\Longleftrightarrow u\times v+v\times w=-w\times u\\&\Longleftrightarrow v\times (w-u)=u\times w \end{align*}

Entonces mi razonamiento es que como $w-u$ está obviamente en el plano que $u,w$ vanos, entonces para $v\times (w-u)$ para formar el mismo vector normal que $u\times w$ v debe estar en el mismo plano. Creo que el razonamiento es correcto, pero ¿cómo formalizo esta última parte utilizando notación matemática? ¿Es necesario hacerlo?

Answer 1

Supongo que estamos trabajando en $\mathbb{R}^3$ . En primer lugar, tiene que establecer que $u$ , $v$ y $w$ son linealmente independientes si y sólo si $u\cdot(v\times w)\neq 0$ . Ahora bien, si $u$ , $v$ y $w$ son linealmente independientes, entonces $$ u\cdot\big(v\times w+w\times v+v\times u)=u\cdot (v\times w) \neq 0\,,$$ de donde $v\times w+w\times u+u\times v\neq 0$ . Esto demuestra que, si $v\times w+w\times u+u\times v=0$ entonces $u$ , $v$ y $w$ son linealmente dependientes.

Por el contrario, si $u$ , $v$ y $w$ son linealmente dependientes, entonces hay tres escenarios. Primero, $u=v=w=0$ lo que obviamente significa $v\times w+w\times u+u\times v=0$ . Segundo, $u$ , $v$ y $w$ son múltiplos escalares de un único vector $x\neq 0$ . Entonces, de nuevo, tenemos claramente $v\times w+w\times u+u\times v=0$ . Por último, supongamos que $u$ , $v$ y $w$ abarca un $2$ -subespacio dimensional de $\mathbb{R}^3$ . Entonces, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $u$ y $v$ son linealmente independientes, y $w=au+bv$ para algunos $a,b\in\mathbb{R}$ . Es decir, $$v\times w+w\times u+u\times v=-a\,(u\times v)-b\,(u\times v)+(u\times v)=(1-a-b)\,(u\times v)\,,$$ que es distinto de cero si $a+b\neq 1$ . Por lo tanto, tenemos una inversa parcial, a saber, si $$v\times w+w\times u+u\times v\neq 0\,,$$ entonces el subespacio de $\mathbb{R}^3$ abarcado por $u$ , $v$ y $w$ es como mínimo $2$ -dimensional.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$v \times w + w \times u + u \times v =v \times w - u \times w + u \times v $$

$$=(v-u) \times (w-v)$$

Así $$ v \times w + w \times u + u \times v = 0$$

$$\implies (v-u) \times (w-v)=0$$ Lo que implica $u$ , $v$ y $w$ son linealmente dependientes.

Answer 3

Denote $\left[\begin{matrix}u&v&w\end{matrix}\right]=(u\times v).w$ como triple producto escalar.

Y tenga en cuenta que $\left[\begin{matrix}u&v&w\end{matrix}\right]=0$ si dos vectores cualesquiera son idénticos. Esto se deduce de la propiedad de los determinantes si se expande $(u\times v).w$ como determinante.

Tomar el producto punto por $w$ en ambos lados para obtener

\begin{align} &\qquad\quad(u\times v+v\times w+w\times u).w=0.w \\&\implies (u\times v).w+(v\times w).w+(w\times u).w=0 \\&\implies \left[\begin{matrix}u&v&w\end{matrix} \derecha]+ \izquierda[ \begin{matrix}v&w&w\end{matrix}\right]+ \left[\begin{matrix}w&u&w\end{matrix} \derecha]=0 \&\implica \left[ \begin{matrix}u&v&w\end{matrix}\right]=0 \end{align}

Esta última implicación es una condición necesaria y suficiente para que los vectores $u,v$ y $w$ sean coplanarios. Sabemos que $\left[\begin{matrix}u&v&w\end{matrix}\right]$ representa geométricamente el volumen de un cuboide formado por los vectores $u,v$ y $w$ . Si este volumen desaparece, los vectores deben estar situados en un plano. Por lo tanto, como usted dice, son dependientes.