Hace varios meses se publicó un artículo en http://arxiv.org/abs/1001.4164 titulado "Otra forma de responder a la pregunta fundamental de Henri Poincaré". El autor ha dado hoy una charla al respecto en mi institución. Si es correcto, es un gran avance en términos de longitud de la prueba (~10 páginas). Sin embargo, está muy fuera de mi especialidad. Aparentemente ha habido muy pocos comentarios, pero el autor está de acuerdo con la discusión pública. Por lo tanto, ¿alguien puede decir si ha leído el documento? ¿Si es correcto, si le faltan detalles, si es claramente defectuoso, o qué?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Eché un vistazo rápido. Aunque no he encontrado un error concreto, por lo que veo, no utiliza la hipótesis de la conectividad simple en ningún sitio de forma esencial. Aunque la plantea como hipótesis en la proposición 5.6, la prueba de esta proposición funciona para cualquier colector con un límite de 2 esferas (además, la proposición 4.4 funciona para cualquier bola homológica). Por tanto, en el paso (4) de su demostración de la proposición 5.8, cuando hace referencia a la proposición 5.6, este paso no hace un uso esencial de la conectividad simple.
Matt Warren
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También he echado un vistazo rápido (quizás un poco menos rápido), y aunque me gusta mucho la otra respuesta, que ilustra que puede ser difícil de arreglar, puede que haya encontrado un error más específico, que puede ser más útil como respuesta a la pregunta.
En primer lugar, estoy un poco confundido en cuanto a lo que constituye una estratificación. Veo dos posibilidades:
1) La que está realmente definida que permite la siguiente estratificación: $S_1=S_2=D^2\times [0,1]$ y se pegan a lo largo de un disco cerrado en el interior de $D^2\times \{1\}$ de $S_1$ y el mismo disco en el interior de $D^2 \times \{0\}$ en $S_2$ .
2) La que creo que está implícita en algunos puntos: $S_i$ y $S_{i+1}$ sólo podrá identificarse de forma que $U(S_i) \cup L(S_{i+1})$ es de hecho una sub-superficie en el 3-manifold.
Describiré mis problemas relacionados con ambas definiciones:
En la prueba de la proposición 5.8 partes (2-3-4) él adjunta "3-células" (yo escribiría 3-disco para evitar confusión con los adjuntos complejos de células de CW, o adjunta tanto una 2-célula como una 3-célula) $W$ y amplía la estratificación.
Si trabajamos con la definición 2) anterior, esto parece generalmente imposible porque a menudo también habría que adjuntarlo en la parte superior de $S_{i+1}$ para obtener el supuesto de superficie extra en 2).
Si trabajamos según la definición 1) anterior, entonces esto ni siquiera hace que el nuevo $F_{i+1}$ una superficie en el sencillo ejemplo descrito anteriormente.
