Álgebra y cálculo homológicos (como en Newton)

Question

Esta pregunta me recordó una idea posiblemente estúpida que tuve hace un tiempo.

En la página 2 de este documento Al hablar de los axiomas de la geometría plana y espacial de Euclides, Manin hace un comentario muy interesante:

Euclides pierde aquí una gran oportunidad: si enunciaba el principio

"La extremidad de una extremidad está vacía",

se le puede considerar el descubridor de la

ECUACIÓN BÁSICA DE ALGEBRA HOMOLÓGICA: d^2 = 0.

Desde que leí esto, he tenido la sospecha de que la ecuación "d^2 = 0" del álgebra homológica está relacionada de algún modo con la ecuación "épsilon^2 = 0" del cálculo (de primer orden) (como en Newton)*, ya que esta última ecuación puede interpretarse como si dijera "una cantidad muy muy pequeña es cero", lo que al menos superficialmente parece similar a "la extremidad de una extremidad está vacía". Una vez le expliqué mi sospecha a Dan Erman tomando unas cervezas, y él me respondió con otra pregunta: ¿Podemos hacer algún tipo de álgebra homológica utilizando la ecuación d^n = 0 en lugar de d^2 = 0? Quizá si d^2 = 0 puede relacionarse con el cálculo de primer orden, entonces d^3 = 0 puede relacionarse con el cálculo de segundo orden, y así sucesivamente...

En realidad no tengo una pregunta específica que hacer sólo pensé en exponer esta idea. Tal vez alguien pueda decirme por qué esta idea es estúpida, o por qué no lo es.

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*o el anillo de números duales k[epsilon]/(epsilon^2) si eres algebrista o geómetra algebraico.

Answer 1

Hace un tiempo trabajé sobre la cuestión de qué podemos decir si $d^n=0$ pero me distraje con problemas más concretos. Sin duda, algunas personas han reflexionado sobre esta cuestión. Un lugar donde empezar a buscar es " $d^N=0$ : homología generalizada" u "Homologías generalizadas para $d^N=0$ y clasificado $q$ -álgebras diferenciales", ambas de Michel Dubois-Violette.

(Perdón por la falta de enlaces; estoy fuera del campus, así que no puedo acceder a las entradas de MathSciNet ahora mismo).

Answer 2

Vi la noción de "n-complejo" una vez en este preprint de Peter Olver: http://www.math.umn.edu/~olver/a_/hyper.pdf

Sólo he estudiado las secciones 5 y 6 de este documento, así que no sé qué hace realmente en las demás secciones (introduce los "hipercomplejos" que contienen "n-complejos" como subcomplejos en la sección 7). En la introducción menciona que está interesado en las versiones de orden superior de los complejos de de Rham.

Answer 3

Otra referencia para la misma idea es el documento "On the q-analog of homological algebra" de Misha Kapranov (arXiv:q-alg/9611005).

En la teoría de la homología cíclica, que es (entre otras cosas) una interpretación algebraica/homotópica del cálculo, el hecho de que d^2=0 procede directamente de la estructura de la homología del círculo, que son efectivamente los números duales (salvo que épsilon tiene grado -1). La estructura de anillo aquí es el producto de Pontryagin, es decir, proviene de la estructura de grupo en S^1 a través de la convolución (es el "álgebra de grupo" de S^1).

Answer 4

Estoy respondiendo a esto desde un punto de vista mucho más amateur que el de Kevin, por lo que todo lo que diga aquí debe tomarse con una liberal aplicación de cloruro sódico. Si estoy completamente equivocado, por favor, házmelo saber para que pueda eliminar las pruebas incriminatorias :)

Dicho esto, creo recordar que en un momento dado me convencí de que un "álgebra homológica" con d^n = 0 no aportaría mucha información nueva. La razón, creo, era esencialmente que los grupos homológicos miden el fracaso de un complejo en cadena para ser exacto, y así intuitivamente la homología de algo con d^n = 0 mediría el fracaso de subsecuencias más largas para ser exactas. Pero las secuencias exactas más largas pueden construirse a partir de secuencias cortas, así que debería ser posible asociar un complejo en cadena "estándar" a una bestia tan rara, que contenga básicamente la misma información.

Una vez más, todo esto lo pensé mucho antes de tener una idea real de cómo se comporta la homología en la naturaleza, por lo que es muy probable que sea incorrecto, pero lo menciono de todos modos por si acaso hay algo de cierto.

Answer 5

Hay toda una teoría de cálculo de functores iniciada por Goodwillie. Hay aproximaciones de Taylor de functores y así sucesivamente. Aquí está la página de wikipedia que contiene más referencias:

http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_functors