¿Cómo podemos saber a qué velocidad calienta el café la taza?

Question

El café caliente calienta la taza fría.

¿A qué velocidad? Bueno, para responder a esa pregunta, tenemos que saber a qué velocidad está sucediendo:

La taza fría enfría el café caliente.

Pero, ¿a qué velocidad? Bueno, para responder a esa pregunta, tenemos que saber a qué velocidad está ocurriendo:

El café caliente calienta la taza fría.

Y así hasta el infinito. El bucle me parece infinito. ¿Cómo podemos salir de él?

Answer 1

Si el objeto más caliente estaba a $T_H$ el más frío en $T_C$ entonces el calor fluiría del más caliente al más frío (suponemos que no se pierde calor en el ambiente) y el flujo de calor $\frac{dQ}{dt}$ viene dado por:

$$\frac{dQ}{dt}=kA\Delta T$$

donde $k$ es el coeficiente de transferencia de calor, $A$ la superficie que une los objetos y $\Delta T$ :

$$\Delta T=T_H-T_C$$

Supongamos que la capacidad calorífica del objeto más caliente es $C_HM_H$ , del objeto más frío es $C_CM_C$ entonces una pérdida infinitesimal de energía térmica $dQ$ viene dado por:

$$dQ=C_HM_HdT_H=-C_CM_CdT_C$$

Así que..:

$$dT_H=-\frac{C_CM_C}{C_HM_H}dT_C$$

Set:

$$\alpha =\frac{C_CM_C}{C_HM_H}$$

Así que..:

$$dT_H=-\alpha dT_C$$

También sabemos por la Conservación de la Energía que la temperatura final compartida $T_E$ viene dado por:

$$C_HM_HT_H+C_CM_CT_C=(C_HM_H+C_CM_C)T_E$$

Así que..:

$$T_H+\alpha T_C=(1+\alpha)T_E$$

$$T_H=(1+\alpha)T_E-\alpha T_C$$

$$\Delta T=(1+\alpha)T_E-\alpha T_C-T_C=(1+\alpha)(T_E-T_C)$$

Así que con lo anterior:

$$-\frac{C_CM_CdT_C}{dt}=kA(1+\alpha)(T_E-T_C)$$

$$\frac{dT_C}{T_E-T_C}=-\beta dt$$

donde:

$$\beta=\frac{kA(1+\alpha)}{C_CM_C}$$

Integración entre $T_C$ y $T_{C,t}$ obtenemos:

$$\ln \frac{T_E-T_{C,t}}{T_E-T_C}=-\beta t$$

O:

$$\large{T_{C,t}=T_E+(T_E-T_C)e^{-\beta t}}$$

Así que $T_{C,t}$ tiende asintóticamente a $T_E$ :

$$t \to \infty\:\text{then} T_{C,t} \to T_E$$

Lo mismo ocurre, por supuesto, con $T_{H,t}$ y también $t \to \infty$ entonces $\Delta T \to 0$ .

Esquemáticamente, la evolución de la temperatura de ambos objetos tiene el siguiente aspecto:

Answer 2

Dmitry ha resuelto perfectamente el meollo de tu confusión en los comentarios, pero he pensado que al menos respondería a tu pregunta:

¿Cómo podemos saber a qué velocidad calienta el café la taza?

La física es una ciencia experimental. Por mucho que la comunidad científica pop glorifique los experimentos mentales sobre astronautas gemelos y gatos, en este campo respondemos a las preguntas mediante la medición.

El café caliente está calentando la taza fría. ¿A qué velocidad?

Lo cronometramos. Coloca un termómetro en el exterior de una taza de café a temperatura ambiente, llénala de café y pon en marcha el cronómetro. Cada milisegundo, o con la frecuencia que te permita la ley, anota la hora y la temperatura en un bloc de papel. Traza y publica.

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Esta respuesta no pretendía ser descarada. Estoy seguro de que sabías que podías responder a tu pregunta de esta manera, pero aun así pensaste que había una paradoja. En general, siempre que tu teoría tenga una imposibilidad pero tu experimento no, tienes que cambiar tu teoría ( no eres la primera persona que comete este error ).

En este caso, como señalan los comentarios, basta con definir que el calor fluye en un solo sentido y ya está.

Answer 3

Su pregunta era

El bucle me parece infinito. ¿Cómo podemos salir de él?".

Salimos de dudas al comprender que cuando dos cuerpos están en contacto, el calor fluirá del objeto más caliente al más frío. En el proceso, el objeto frío se calentará más. La velocidad del flujo de calor es función de la conductividad térmica del material, el gradiente térmico y la capacidad calorífica. Y se trata de un problema que puede resolverse matemáticamente: no es ninguna paradoja.

Para simplificar el análisis, podemos considerar el caso de dos barras semi-infinitas idénticas, de diferente temperatura, que se ponen en estrecho contacto térmico en t=0. Si el perfil térmico en un punto dado del tiempo $t$ y el espacio $x$ es $u(x,t)$ entonces podemos analizar el flujo de calor. Esto da lugar a la ecuación de difusión - Véase, por ejemplo esta conferencia para un análisis y una explicación detallados. En resumen, si tiene conductividad térmica $K$ calor específico $\sigma$ área de la sección transversal $A$ y densidad $\rho$ podemos escribir para el flujo de calor a través de una superficie a $x$ :

$$\Phi(x) = -KA\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_x$$

En un punto $x + \delta x$ obtenemos

$$\Phi(x+\delta x) = -KA\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x+\delta x}$$

La diferencia es el calor que está disponible para calentar la pequeña porción $\delta x$ . Conservación del calor:

$$KA\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\delta x = \sigma \rho A \delta x \frac{\partial u}{\partial t}$$

Escribir $c^2 = \frac{K}{\sigma \rho}$ Esto se reduce a la ecuación de difusión:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = c^2 \frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$

Puede utilizar el análisis de Fourier para resolver esto para cualquier configuración y condiciones de contorno. En resumen, el calor que sale del objeto más caliente calentará el objeto más frío y reducirá el gradiente térmico. Esto ralentizará el flujo de calor.

Si le interesa, hay un conjunto bastante amplio de casos resueltos en este documento .

Y aquí hay un diagrama de cómo la difusión de calor hace que una función escalonada inicial se "difunda" con el tiempo (de esta conferencia ):