Singularidad puntual de una variedad riemanniana con curvatura limitada

Question

Supongamos que tenemos una variedad riemanniana incompleta con curvatura seccional acotada tal que su terminación como espacio métrico es la variedad más un punto adicional. ¿Se extiende la estructura de la variedad riemanniana a través de la singularidad del punto?

(Penny Smith y yo escribimos un artículo sobre esto hace muchos años, pero tuvimos que suponer que no existían geodésicas cerradas arbitrariamente cortas en una vecindad de la singularidad. Nunca fui capaz de averiguar cómo deshacernos de esta suposición y todavía me gustaría que alguien mejor que yo en geometría de Riemann me explicara cómo. O que me mostrara un contraejemplo).

EDIT: Para simplificar, supongamos que la dimensión del colector es mayor que 2 y que en cualquier vecindad de la singularidad, existe una vecindad puntuada más pequeña de la singularidad que está simplemente conectada. En dimensión 2, hay que sustituir esta suposición por una condición de holonomía apropiada.

EDIT 2: Hagamos la suposición anterior más simple y clara. Supongamos dimensión mayor que 2 y que para cualquier r > 0, existe 0 < r' < r, tal que la bola geodésica perforada B(p,r'){p} es simplemente conexa, donde p es el punto singular. Esto excluye la posibilidad de una singularidad orbifold.

COMENTARIO ADICIONAL: Mi aproximación a esto fue construir una familia diferenciable de rayos geodésicos que emanan de la singularidad. Una vez obtenido esto, es fácil demostrar mediante campos de Jacobi que esta familia debe ser naturalmente isomorfa a la esfera unitaria estándar. Entonces, utilizando lo que Jost y Karcher llaman "coordenadas casi lineales", es fácil construir una carta de coordenadas C^1 en una vecindad de la singularidad. (Lee el artículo, no hay nada difícil en él).

Pero fui incapaz de construir esta familia de geodésicas sin el supuesto de "ningún bucle geodésico pequeño". Para mí es una suposición demasiado fuerte que equivale esencialmente a suponer de antemano que esa familia diferenciable de geodésicas existe. Así que nuestro resultado me parece totalmente insatisfactorio. No veo por qué debería ser necesaria esta suposición, y sigo creyendo que debería haber una forma fácil de demostrarlo. O debería haber un contraejemplo.

Sin embargo, tengo que decir que estoy bastante seguro de haber consultado a uno o dos geómetras riemannianos bastante distinguidos y no fueron capaces de aportar ninguna idea útil al respecto.

Answer 1

Una vez consideramos un problema similar pero alrededor del infinito, trata de buscar en nuestro documento "Asymptotical flatness and cone structure at infinity".

Denotemos por $r$ la distancia al punto singular. Si las dimensiones $\not= 4$ entonces el mismo método muestra que en el punto singular tenemos cono tangente euclidiano incluso si la curvatura es "mucho menor" que $r^{-2}$ (digamos si $K=O(\tfrac{1}{r^{2-\varepsilon}})$ para algunos $\varepsilon>0$ pero se puede hacer un poco más débil).

En la dimensión 4 puede haber algunos ejemplos divertidos: Su punto singular tiene espacio tangente $\mathbb R^3$ , el $r$ -alrededor de este punto son esferas de Berger, por lo que su curvatura es muy parecida a la curvatura de $r\cdot(S^2\times \mathbb R)$ el tamaño de las fibras de Hopf pasa a $0$ muy rápido. Sin embargo si sabes que la dimensión del espacio tangente es $4$ entonces tiene que ser euclidiano.

Todo esto puede ocurrir si la curvatura crece lentamente. Si está acotada entonces se puede extender la desigualdad de tipo Bishop--Gromov para bolas alrededor del punto singular. Implica que la dimensión del espacio tangente es $4$ . Eso terminará la prueba.

Answer 2

Tomemos un cono sobre un cociente finito S^{2n-1}/ \Gamma. La curvatura es 0, pero la estructura del colector ni siquiera se extiende. (En términos más generales, se puede tomar el cono sobre cualquier colector de Einstein de dimensión n-1 con constante de Einstein n-2).

Answer 3

He aquí lo que parece ser un contraejemplo. Sea (M,g) una variedad riemanniana cerrada simplemente conectada. Entonces M por (0,infinito) con la métrica del producto alabeado dr^2 + r^2 g tiene curvatura acotada y la terminación en r=0 es un punto. Si la métrica es suave, entonces M es difeomorfa a una esfera, por lo que cualquier otra M da un contraejemplo.

EDIT: Lo siento, esto no funciona ya que la curvatura estalla en cero a menos que g tenga curvatura constante 1.

Answer 4

Si por "se extiende a través del punto de singularidad" te refieres a que se extiende suavemente, entonces creo que puedes empezar con el espacio euclidiano pensado como un producto alabeado sobre (0,infinito) con la esfera como fibra y sustituir la función alabeada r por cualquier función suave f(r) que esté cerca de r en la topología C^2. Entonces la curvatura no cambiará mucho, mientras que para la métrica en el punto de origen, la curvatura es suave. Entonces la curvatura no cambiará mucho, mientras que para que la métrica sea suave en el origen f debe satisfacer condiciones de consistencia sobre las derivadas superiores de f en r=0 que seguramente serán violadas para casi cualquier f. Las condiciones de consistencia son como las que se pueden encontrar por ejemplo en el libro de Peterson, página 13 (en la primera edición).

Quizá sea posible construir un ejemplo de producto alabeado múltiple en el que el enlace en el punto singular no sea una esfera, pero no estoy suficientemente motivado para intentar el cálculo. En el apéndice C de mi artículo arXiv:0711.2324 se pueden encontrar fórmulas prácticas para el tensor de curvatura de productos alabeados múltiples.

Answer 5

¿Y si se trata de una familia de triángulos, paralelos a alguna dos-dirección s.t. su unión contiene singularidad? (¿Como tetraedr para n=3)? Entonces su geometría (ángulos, lados, etc.) se controla desde "fuera" de la singularidad, de modo que todos tienen una cirvatura uniformemente acotada, incluida la que contiene la singularidad. Que el tamaño sea entonces cero. ¿Significa esto que el plano tangente está definido en la singularidad y es R^n y así sucesivamente ...?