Diferencia entre $E(X\mid Y)$ la variable aleatoria y $E(X\mid Y=y)$ el número

Question

Hice esta pregunta en clase y no entendí la respuesta de mi profesor. Hace poco que hemos empezado a hacer la distinción entre variables aleatorias (Ej. $Y$ y $X$ ) y un valor fijo específico (por ejemplo $y$ y $x$ ).

Esta cuestión ha surgido hoy cuando hemos hablado de la Ley de las Expectativas Iteradas.

Afirmamos que $E[X|Y]$ es una variable aleatoria que toma el valor $E[X|Y=y]$ cuando $Y$ toma el valor $y$ . Por ello, podemos considerar $E[X|Y]$ en función de $Y$ desde $E[X|Y=y]$ es función de $y$ .

Tengo curiosidad por saber por qué es necesaria esta distinción. ¿Por qué no se puede dar a entender que $E[X|Y]$ es función de $y$ desde $X$ está condicionada a la variable aleatoria $Y$ que toma cualquier valor $y$ en el ámbito de $Y$ ?

Answer 1

No sé si es la respuesta correcta, pero escucha lo que acabas de decir:

" $E[X|Y]$ es una variable aleatoria que toma el valor $E[X | Y = y]$ cuando $Y$ toma el valor $y$ ".

Es exactamente lo mismo que decir $f(x)$ es la función que toma el valor $f(c)$ cuando $x$ toma el valor $c$ . Al igual que en esta frase nos referimos a $x$ como nuestro variable la cosa que cambiamos libremente para obtener diferentes resultados, así también en la frase anterior nos referimos a $Y$ como nuestra variable, entonces cosa que estamos cambiando libremente.

Sucede que $Y$ es al mismo tiempo una variable aleatoria, es decir, sus valores dependen de resultados futuros que son inciertos en el momento presente.