Propiedad de la regularidad interna de medidas del radón en espacios métricos

Question

Pongámonos de acuerdo para decir que el $\mu$ es una medida de Radón en un espacio métrico $X$ si se trata de una medida de Borel que es finito en subconjuntos compactos y es tal que:

• Cada subconjunto medible $A$ es exterior regular, lo que significa que $$\mu(A)=\inf\{\mu(V)\ |\ A\subset V,\ V\ \text{is open}\};$$
• Cada subconjunto abierto $U$ es interior regular, lo que significa que $$\mu(U)=\sup\{\mu(K)\ |\ K\subset U,\ K\ \text{is compact}\}.$$

La presente pregunta se refiere interior de la regularidad. De hecho, como he leído en Evans-Gariepy de la teoría de la Medida y la multa propiedades de las funciones, el Teorema 4, Capítulo 1 (*), si $X=\mathbb{R}^n$, entonces cada subconjunto medible es automáticamente interior regular. Esta es una propiedad de $\mathbb{R}^n$ solo? Formalmente:

Pregunta. Que métrica espacios tienen la propiedad de que para cualquier medida de Radón cada subconjunto medible es la interior regular?

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(*) La notación y convenciones en este libro son un poco diferentes de las de la presente post.

EDIT. Específicamente, en Evans-Gariepy el libro de una medida es una extendida real con valores de función de conjunto que es monotono y subadditive (generalmente, esto se llama una medida exterior). Un conjunto medible es la que satisface Caratheodory del criterio: $$E\ \ \text{es medible} \ffi \forall T\subconjunto de X,\ \mu(T)=\mu(T\cap E)+ \mu(T\cap E^c).$$ Una medida de Radón es un (exterior) medida:

1. Borel regular, lo que significa que cada conjunto de Borel medible y cada set (incluso nonmeasurable) está contenida en un conjunto de Borel de la misma (exterior) medida;
2. Finito en subconjuntos compactos.

El mencionado Teorema 4 del Capítulo 1, dice que, dado un Radón (exterior) medida en $\mathbb{R}^n$, cada conjunto (cuantificables o no) es exterior regulares y cada conjunto medible es la interior regular.

Comentario 1. Si $\mu$ es un Borel regular medida en $X$ de tal forma que cada conjunto de Borel es interior regular, entonces todo subconjunto medible de medida finita es la interior regular. De hecho, si $M\subset X$ es medible y tiene medida finita, entonces aplicando dos veces el Borel regularidad de la propiedad se puede obtener un conjunto de Borel $M'$, que está contenida en $M$ y tiene la misma medida como $M$.

Observación 2. En particular, si $X$ es localmente compacto, y la ampliación de la unión de conjuntos compactos, como en Micheal del tipo de respuesta de abajo, y si $\mu$ es un Borel regular de Radón (exterior) medida, creo que todos (Caratheodory) subconjunto medible es la interior regular. De hecho, vamos a $M\subset X$ ser medibles. Si $\mu(M)<\infty$ hemos terminado. Si $\mu(M)=\infty$, entonces se puede escribir como una expansión de la unión de conjuntos finitos de medida: $M=\cup_1^\infty M_j$. Cada $M_j$ contiene un compacto $K_j$ tal que $\mu(K_j)\ge \mu(M_j)-1$. Dejar $j\to \infty$, $\mu(M_j)\to \mu(M)=\infty$ y por lo $\mu(K_j)\to \infty$. Esto demuestra la reclamación.

Answer 1

Cada finito medida de un espacio topológico es exterior regular si y sólo si es interior regular, así compacidad sería suficiente (y cada finito medida en espacio métrico es automáticamente interna y externa regular). Otra condición suficiente es que el espacio es la unión de un aumento de la secuencia de conjuntos compactos, que cubre el caso de $\mathbb{R}^n$.

Uno puede ver esto en: Aliprantis Y Frontera De 2006, "de Infinitas Dimensiones de Análisis" en la sección 12.1.

Edit: Lurker ha señalado que aliprantis y de la Frontera utilizar el más débil noción de interior de la regularidad de apprximating establece desde abajo por los conjuntos cerrados. Lo que se llama interior de la regularidad de aquí, que ellos llaman la opresión. Es automático para finito de medidas en polaco espacios, pero no todas las métricas de los espacios.