Simplificar la función booleana $$Z=A\bar B \bar{C_i} + \bar A B \bar{C_i} + \bar A\bar B {C_i} + A B {C_i}$$

Question

Quiero simplificar la siguiente función booleana:

$$Z=A\bar B \bar{C_i} + \bar A B \bar{C_i} + \bar A\bar B {C_i} + A B {C_i}$$

Aquí está mi intento:

\begin{align} Z &= A\bar B \bar{C_i} + \bar A B \bar{C_i} + \bar A\bar B {C_i} + A B {C_i} \\ & = \bar{C_i}(A \bar B + \bar A B) + C_i(\bar A \bar B + AB) \\ & = \bar C_i(A \oplus B) + C_i(A \equiv B) \end{align}

Pensé que esto era el final, pero en mi libro de texto continúa y lo ha hecho: \begin{align} Z &= A\bar B \bar{C_i} + \bar A B \bar{C_i} + \bar A\bar B {C_i} + A B {C_i} \\ & = \bar{C_i}(A \bar B + \bar A B) + C_i(\bar A \bar B + AB) \\ & = \bar C_i(A \oplus B) + C_i(A \equiv B) \\ & = A \oplus B \oplus C_i \\ & = A \equiv B \equiv C_i \end{align}

Estoy confundido acerca de lo que ocurrió entre el tercer y cuarto paso. ¿Qué reglas de álgebra booleana se están utilizando aquí?

Answer 1

Observe que
\begin{align}\overline{\overline{A} \cdot\overline{B} + A\cdot B} = \overline{(\overline{A}\cdot\overline{B})}\cdot\overline{(A \cdot B)} = (A + B)\cdot(\overline{A}+\overline{B}) = A \cdot\overline{B} + \overline{A}\cdot B \end{align}

Por lo tanto

\begin{align} Z&=\overline{C_i} (A \oplus B) + C_i (A\equiv B)\\ &=\overline{C_i} (A \oplus B) + C_i\overline{(A \oplus B)} \\ &= C_i \oplus (A\oplus B)\\ &=A\oplus B\oplus C_i \end{align}

Answer 2

Si tienes dudas sobre los booleanos, construye una tabla verdadero-falso.

Tablas verdadero-falso para XOR ( \$\oplus\$ ):

   | 0 | 1
---+---+---
 0 | 0 | 1
---+---+---
 1 | 1 | 0

Para "es igual a" ( \$\equiv\$ ):

   | 0 | 1
---+---+---
 0 | 1 | 0
---+---+---
 1 | 0 | 1

Como puede ver \$A \equiv B\$ da justo el resultado contrario de \$A \oplus B\$ (el resultado es 1 para el primero cuando es 0 para el segundo, y viceversa). Esto significa que:

$$A \equiv B = \overline{A \oplus B}$$

Utilizó varias veces la identidad $$X\overline{Y} + \overline{X}Y = X \oplus Y$$

Es decir: Si (X es verdadero E Y es falso) O (si X es falso e Y es verdadero) es lo mismo que si X o Y son verdaderos, pero no ambos, lo cual es bastante sencillo.

Así que ahora llegas a esta ecuación:

$$\overline{C_i}(A \oplus B) + C_i(A \equiv B) \\$$

Desde \$A \equiv B\$ puede escribirse como \$\overline{A \oplus B}\$ puedes reescribirlo a:

$$\overline{C_i}(A \oplus B) + C_i(\overline{A \oplus B}) \\$$

Que es una forma de \$X\overline{Y} + \overline{X}Y\$ con \$X = C_i\$ y \$Y = A \oplus B\$ .

Entonces se puede reescribir como:

$$C_i \oplus (A \oplus B)$$

Como todos estos operadores booleanos son conmutativos, se puede reescribir como:

$$A \oplus B \oplus C_i$$

Answer 3

En primer lugar, plus es un operador poco habitual para las ecuaciones bool Wikipedia . Asumí que te referías a un OR

Con esta suposición llegué al resultado: no es posible ninguna otra reducción. Para ello utilicé un mapa de Karnaugh

https://en.wikipedia.org/wiki/Karnaugh_map