Se me ocurren varios añadidos a tu lista que no parecen estar representados todavía.
1. Resoluciones Semismall
Este primer ejemplo es bastante general, pero después hablaré de cómo se utiliza en la teoría de Springer.
En primer lugar, supongamos que $f:X \to Y$ es un mapa propio de variedades algebraicas complejas irreducibles estratificadas con $X$ racionalmente suave tal que, si $Y = \cup Y_n$ es la estratificación de $Y,$ la restricción de $f$ a $f^{-1}(Y_n) \to Y_n$ es topológicamente localmente trivial (hay un teorema (no sé de quién es) que dice que siempre podemos encontrar una estratificación tal que esta condición se cumpla). Además, decimos que $f$ es semi-pequeño si para cada estrato $Y_n,$ la dimensión de la fibra de $f^{-1}(Y_n) \to Y_n$ es menor o igual que la mitad de la codimensión de $Y_n$ en $Y.$ Esta condición es importante en gran medida por el siguiente teorema:
Dato . El pushforward de la gavilla perversa constante bajo un mapa semismall sigue siendo perverso.
Además, decimos que un estrato $Y_n$ es relevante siempre que se cumpla la igualdad anterior, es decir, el doble de la dimensión de la fibra es igual a la codimensión. Estas serán importantes en breve, ya que serán las subvariedades que aparecerán en el teorema de descomposición.
Por las suposiciones que hicimos sobre $f:X \to Y,$ tenemos una acción monodrómica de $\pi_1(Y_n)$ en el grupo de cohomología de dimensión superior de la fibra de $f^{-1}(Y_n) \to Y_n.$ Esto corresponde a un sistema local $L_{Y_n},$ que podemos descomponer en componentes irreducibles: $L_{Y_n} = \oplus L_{\rho}^{d_{\rho}}$ donde $\rho$ recorre el conjunto de representaciones irreducibles de $\pi_1(Y_n)$ y $d_{\rho}$ son enteros no negativos. Decimos entonces que un par $(Y_n, \rho)$ es relevante si $Y_n$ es un estrato pertinente y $d_{\rho} \neq 0$ (es decir, $\rho$ aparece en la descomposición de la representación de $\pi_1(Y_n)$ ).
Ahora por fin podemos enunciar un teorema, que creo que se debe a Borho y Macpherson, pero quizá también merezcan crédito otros. Mantener los supuestos iniciales en $f:X \to Y,$ pero ahora supongamos además que $X$ es suave. Entonces un poco de trabajo más el teorema de descomposición establecen lo siguiente.
Teorema . $f_{\ast}IC_X = \oplus IC_{Z_n}(L_{\rho})^{d_{\rho}}$ donde $Z_n$ es el cierre de $Y_n$ y la suma abarca todos los pares relevantes $(Y_n, \rho).$
Este teorema se utiliza en Teoría de Springer (y quizá también en otros lugares). En este caso, queremos $f:X \to Y$ la resolución de Springer. Es decir, $Y = \mathcal{N},$ el cono nilpotente de un álgebra de Lie $g$ asociado a un grupo reductor $G$ y $Y = \widetilde{\mathcal{N}},$ la variedad de parejas $(x,b)$ donde $x \in \mathcal{N},$ $b$ es una subálgebra de Borel, y $x \in b.$ Si estratificamos $\mathcal{N}$ utilizando el $Ad(G)$ -(de los cuales hay finitamente muchos), entonces resulta que la resolución de Springer es semidimensionada y cada estrato es relevante.
Además, puede demostrarse que el $L_{\rho}$ que aparecen en el teorema anterior corresponden a las componentes irreducibles de la representación regular del grupo de Weyl de $G.$ Esto puede verse de la siguiente manera. Hay un análogo de la resolución de Springer $\pi:\widetilde{g} \to g$ definido como arriba pero con g en lugar de $\mathcal{N}.$ Por cambio de base propio, el pushforward de la gavilla constante sobre $\widetilde{\mathcal{N}}$ coincide con el retroceso (bajo la inclusión $\mathcal{N} \to g$ ) del pushforward de la gavilla constante sobre $\widetilde{g}.$ Por último, puesto que $\pi$ es lo que se conoce como un mapa pequeño, el pushforward de la gavilla constante en $\widetilde{g}$ es igual a $IC_g(L)$ donde $L$ es el sistema local en el subconjunto abierto denso $g^{rs}$ de elementos regulares semisimples obtenidos a partir del $W$ -torsor $\widetilde{g^{rs}} \to g^{rs}.$ De todo esto obtenemos que los grupos de cohomología top-dimensionales de las fibras de Springer producen todas las representaciones irreducibles de $W.$
2. Satake geométrico
En una dirección diferente, permítanme mencionar cómo se utiliza el teorema de descomposición en la correspondencia geométrica Satake (véase la Documento Mirkovic-Vilonen o el documento de Ginzburg sobre este tema).
Satake geométrico se ocupa de demostrar una equivalencia tensorial entre la categoría de láminas esféricas perversas sobre el Grassmanniano afín (es decir, láminas perversas que son sumas directas de láminas IC) asociadas a un grupo reductor $G$ y la categoría de representaciones del dual de Langlands de $G.$ Esto se hace mediante el formalismo tannakiano, que en particular requiere una estructura tensorial sobre las láminas esféricas perversas. Esta estructura tensorial procede de un producto de convolución sobre láminas perversas, lo que significa que procede de un pull-back seguido de un producto tensorial seguido de un pushforward. Para garantizar que esta operación lleva las láminas esféricas perversas a láminas esféricas perversas, necesitamos el teorema de descomposición.
Edición: De acuerdo con los comentarios de abajo, el teorema de descomposición no es realmente necesario para definir el producto de convolución.
Comentarios sobre Kazhdan-Lusztig
Voy a suponer que Gil Kalai se refiere al trabajo de Lusztig sobre Polinomios de Kazhdan-Lusztig y la conjetura Kazhdan-Lusztig (mencionada en su respuesta). En particular, tienen un documento,
- [KL] Variedades de Schubert y dualidad de Poincaré D. Kazhdan, G. Lusztig, Proc. Symp. Pure Math, 1980
en el que los coeficientes de los polinomios de Kazhdan-Lusztig se relacionan con las dimensiones de la cohomología de intersección de las variedades de Schubert (que no suelen ser lisas, de ahí la aparición de la cohomología de intersección). En este punto, el Teorema de Descomposición no se había demostrado y no se utilizó en [KL]. Sin embargo, la demostración del Teorema de Descomposición utiliza en gran medida el Teorema de Pureza de Deligne, que tampoco se había demostrado en la época de [KL]. Kazhdan y Lusztig acabaron dando una demostración del Teorema de la Pureza en el caso especial que estaban considerando (es decir, una demostración para las variedades de Schubert). Teniendo esto en cuenta, no es demasiado sorprendente que unos años más tarde Macpherson y Gelfand dieran una prueba del mencionado resultado de [KL] utilizando el teorema de descomposición y el resultado explicado al principio de esta respuesta.
Tengo entendido que Lusztig tiene otro artículo de mediados de los ochenta sobre grupos de Chevalley finitos que utiliza la conjetura Kazhdan-Lusztig (demostrada en 1981) y toda la maquinaria de las láminas perversas y el Teorema de Descomposición (aunque nunca lo he consultado). Además, el trabajo de Lusztig a finales de los setenta y principios de los ochenta sobre la teoría de Springer ciertamente apunta a los métodos de la Teoría de la Descomposición utilizados finalmente por Borho y Macpherson (algunas de sus conjeturas son demostradas por Borho y Macpherson, por ejemplo).
Una magnífica historia y guía de referencia sobre gran parte de este tema puede encontrarse en este artículo por Steve Kleiman.
