Es fácil pensar en una familia contable de conjuntos de Cantor disjuntos, y su unión es, por supuesto, un conjunto nulo. Es igualmente trivial definir una familia incontable de conjuntos de Cantor, pero ¿cómo se puede garantizar que sean disjuntos por pares? ¿Su unión sería un conjunto nulo?
Respuestas
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En $C$ es topológicamente el único espacio métrico compacto de dimensión cero sin puntos aislados, $C \simeq C \times C$ por lo que todo conjunto de Cantor es la unión de un número continuo de copias homeomórficas disjuntas de sí mismo ( $\{c\} \times C, c \in C$ ). Por lo tanto, tal unión incontable puede sea un conjunto nulo (pero no tiene por qué serlo, ¡ojo!).
orangeskid
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Primero hazlo por $C=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ . Para cada $b=(b_n)_n\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ deje $C_b=\{(a_n)\ \mid\ a_{2n} = b_n \textrm{ for all } n\}$ . Claramente $(C_b)_b$ forman una partición de $C$ en subconjunto compacto de medida $0$ .
Ahora $[0,1]$ es una medida equivalente a $C$ bajo el mapa $a\mapsto s(a) = \sum a_n/2^{n+1}$ . Podemos eliminar el subconjunto contable de "indeterminación" de $s^{-1}$ (las fracciones binarias) considerando las imágenes $s(C_b)$ donde $b$ es una secuencia que no es eventualmente constante. Obtenemos así una familia incontable $(s(C_b))_b$ de subconjuntos compactos y disjuntos de $[0,1]$ de medida $0$ . El complemento de su unión en $[0,1]$ es de nuevo incontable y de medida $0$ .
Tenga en cuenta que para $b$ no una secuencia eventualmente constante podemos describir $s(C_b)$ el conjunto de los números reales en $[0,1]$ tal que su expansión binaria $\sum a_n/2^{n+1}$ tiene $a_{2n}= b_n$ ( dígitos prescritos en posiciones Impares después del punto binario).
De paso, debe quedar claro cómo particionar cada $s(C_b)$ ( $b$ no eventualmente constante) en una familia incontable de subconjuntos de Cantor.
Rushabh Mehta
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La respuesta es sí. $C_r\subset \mathbb R^2$ para $r\in\mathbb R$ definirse como $$C_r=\{(r,c)\mid c\in \mathcal C\}$$ (donde $\mathcal C$ es el conjunto de Cantor). Entonces, consideremos una suryección continua desde $\mathbb R\to\mathbb R^2$ . Las imágenes inversas de cada $C_r$ son claramente incontables y disjuntos, y como la función es continua, siguen siendo conjuntos nulos.
