En un álgebra de Banach, ¿tienen ab y ba casi el mismo espectro exponencial?

Question

Sea $A$ sea un álgebra compleja de Banach con identidad 1. Definir el espectro exponencial $e(x)$ de un elemento $x\in A$ por $$e(x)= \{\lambda\in\mathbb{C}: x-\lambda1 \notin G_1(A)\},$$ donde $G_1(A)$ es la componente conexa del grupo de los invertibles $G(A)$ que contiene la identidad.

¿Es cierto que $e(ab)\cup\{0\} = e(ba)\cup\{0\}$ para todos $a,b \in A$ ?

De forma equivalente, ¿es cierto que $1-ab$ está en $G_1(A)$ sólo si $1-ba$ está en $G_1(A)$ para todos $a,b \in A$ ?

Nota: El espectro habitual tiene esta propiedad.

Sólo una nota adicional:

Tenemos $e(ab)\cup\{0\} = e(ba)\cup\{0\}$ para todos $a,b \in A$ si

1) El grupo de invertibles de $A$ es conexo, porque entonces el espectro exponencial de cualquier elemento no es más que el espectro habitual de ese elemento.

2) El conjunto $Z(A)G(A) = \{ab: a \in Z(A), b\in G(A)\}$ es denso en $A$ donde $Z(A)$ es el centro de $A$ . (Esto se puede demostrar). En particular, tenemos $e(ab)\cup\{0\} = e(ba)\cup\{0\}$ para todos $a,b \in A$ si los invertibles son densos en $A$ .

3) $A$ es conmutativa, claramente.

Pero, ¿qué ocurre con otras álgebras de Banach? ¿Alguien puede dar un contraejemplo?

Answer 1

Hola Yemon, Sí, este es un problema propuesto por TJR como parte de un proyecto de investigación de verano NSERC.

En efecto, es una pregunta muy sutil, pensé que podría interesar a algunas personas de aquí. Este problema parece estar muy relacionado con la topología del grupo de elementos invertibles, que es difícil de estudiar.

Y sí, se puede demostrar que el espectro exponencial de a*b es el mismo que el de b*a en el álgebra de Calkin. Se deduce del hecho de que 1-ab es de índice de Fredholm cero si y sólo si 1-ba es de índice de Fredholm cero.

Answer 2

Sólo para actualizar esto: una solución negativa fue dada recientemente por Klaja y Ransford. Véase arXiv 1510.08109.