Whitehead para mapas

Question

Hice la siguiente afirmación en el Seminario secreto de blogging y ahora no estoy seguro de que sea verdad:

Sea $f: X \to Y$ y $g: X \to Y$ sean dos mapas entre complejos CW finitos. Si f y g inducen el mismo mapa sobre $\pi_k$ para todo k, entonces f y g son homotópicas.

¿Decía la verdad?

EDIT: Como no he dicho nada de puntos base, probablemente debería haber dicho que f y g inducen al mismo mapa

$[S^k, X] \to [S^k, Y]$ .

Esto también resolverá mejor la situación en la que X e Y están desconectados. Me interesaría conocer un resultado como éste, ya sea con mapas puntiformes o no puntiformes. (Aunque, por supuesto, si se trabaja con mapas puntiagudos hay que tomar X e Y conectados, porque $[S^k, -]$ no puede ver nada más allá del número de componentes en ese caso).

Answer 1

Esto no es cierto. Consideremos, por ejemplo, un mapa de grado 1 de un toroide $S^1 \times S^1$ à $S^2$ (concretamente, realizar el toroide como un cuadrado con identificaciones, y luego colapsar el límite del cuadrado a un punto). Este mapa es trivial en todos los grupos homotópicos (ya que para cualquier $n>0, \pi_n$ es 0 tanto para el dominio como para el codominio), pero no es homotópicamente trivial porque es distinto de cero en $H_2$ .

Si se quiere exigir que los espacios sean simplemente conexos, se puede obtener un contraejemplo considerando las operaciones de cohomología: el cuadrado de la copa, por ejemplo, da un mapa desde $K(\mathbb{Z},n)$ à $K(\mathbb{Z},2n)$ que no es trivial, pero por la misma razón que en el ejemplo anterior debe ser 0 en grupos homotópicos. Este ejemplo no es finito-dimensional, pero es probablemente posible encontrar uno que es--simplemente no sé cómo porque no sé cómo mostrar un mapa es trivial en grupos de homotopía si los espacios tienen infinitamente muchos grupos de homotopía no triviales cuyos valores son desconocidos, que es el caso de la mayoría de los ejemplos finito-dimensionales.

Answer 2

Otro contraejemplo interesante viene dado por los llamados "mapas fantasma", que inducen el mapa cero en todos los grupos homotópicos pero no son homotópicos nulos. Dado un complejo CW infinito X que es una unión $\bigcup X_n$ de subcomplejos finitos, Milnor describió clases de homotopía de mapas hacia Y donde los mapas fantasma vienen dados por un "lim $^1$ "-term.

Por ejemplo, creo que utilizando este Brayton Gray utilizó esto para construir un mapa de $CP^\infty$ à $S^3$ que es nulo-homotópico en $CP^n$ para todos $n$ .

Answer 3

Siento revivir una vieja pregunta, pero no puedo resistirme a hacer hincapié en el panorama general. La cuestión es si los grupos homotópicos, considerados como functores $\pi_n: \mathrm{HoTop_{*,fin}} \to \mathrm{Set}$ son conjuntamente fieles. Esto equivale a preguntarse si el producto de estos functores $\prod_n \pi_n: \mathrm{HoTop_{*,fin}} \to \mathrm{Set}$ es fiel. No sólo este functor no es fiel, sino que Freyd mostró que no functor de $\mathrm{HoTop}_{*,fin}$ à $\mathrm{Set}$ ¡puede ser fiel! Lo mismo ocurre con los functores $\mathrm{HoTop}_{fin} \to \mathrm{Set}$ y, por supuesto, esto significa que no hay functor fiel $\mathrm{HoTop} \to \mathrm{Set}$ o $\mathrm{HoTop}_* \to \mathrm{Set}$ .

Una categoría que admite un functor fiel a $\mathrm{Set}$ (como grupos, o anillos, o complejos de cadenas, o espacios topológicos a nivel de conjunto de puntos, o prácticamente cualquier categoría que conozcas que no sea la categoría derivada de algo) se denomina hormigón ; el resultado de Freyd dice que la categoría de homotopía no es concreta. Nótese que un functor no concreto no puede tener un functor fiel a ninguna categoría concreta. Akhil Mathew tiene un bonito entrada del blog repasando la prueba del resultado de Freyd. Se reduce al hecho de que en la categoría homotópica se puede tener una clase propia de objetos cocientes (convenientemente generalizados), lo que no puede ocurrir en una categoría concreta.

En este contexto, la hipótesis generadora de Freyd (a la que alude la respuesta de Josh Shadlen), que implica que la estable categoría de homotopía (de espectros finitos) es concreto, es absolutamente asombroso. (véase el comentario de Eric Wofsey que me aclara esta cuestión)

EDITAR Como se ha señalado en los comentarios, la pregunta se refería en realidad a finito tipos de homotopía, que forman una categoría pequeña (por lo tanto concreta tomando el coproducto de todos los representables). Y los resultados de Freyd no tienen realmente nada que decir sobre la fidelidad de los grupos de homotopía sobre tipos de homotopía finitos. Freyd hace muestran que la categoría de homotopía de finito-dimensional Los complejos CW no son concretos. Así que lo que he dicho más arriba sólo es exacto si por $\mathrm{HoTop}_{*,\mathrm{fin}}$ Me refiero a la categoría de homotopía de los complejos CW de dimensión finita y no a los finitos.

EDIT2 He aquí una relación entre las ideas de Freyd y la no fidelidad de los grupos de homotopía sobre complejos CW finitos. Freyd formula una relación de equivalencia sobre morfismos a partir de un objeto en una categoría apuntada que generaliza la noción de dos morfismos que tienen la misma imagen (a saber, $A\to B \sim A \to C$ si para cada $X \to A$ se tiene $X \to B = 0$ si $X \to C= 0$ ). Esta relación de equivalencia se refleja en cualquier functor fiel $F$ es decir, si $Ff$ y $Fg$ tienen la misma imagen generalizada, entonces $f$ y $g$ tienen la misma imagen generalizada. El mapa $S^1\times S^1 \to S^2$ aplastando el 1-esqueleto a un punto no tiene la misma imagen generalizada que un punto, pero después de aplicar $pi_*$ lo hace.

Una clase de equivalencia de mapas con la misma imagen generalizada puede considerarse un "cociente generalizado". La idea de Freyd era que en la categoría homotópica, un objeto puede tener una clase propia de cocientes generalizados, lo que es imposible en una categoría concreta. Para los complejos finitos de CW, no tenemos una clase propia de cocientes generalizados, pero podemos exhibir un cociente generalizado distinto de cero que es enviado a cero por los grupos de homotopía.

Answer 4

Para espectros finitos, tu pregunta es precisamente la hipótesis generadora de Freyd, que está abierta.

Answer 5

Otra clase de ejemplos procede de la cohomología de grupos: si $G$ es cualquier grupo con cohomología superior interesante $H^n(G, A), n \ge 2$ entonces existen mapas homotópicos no nulos $BG \to B^n A$ para algunos $n \ge 2$ . Pero el origen y el destino no tienen grupos homotópicos distintos de cero en ningún grado compartido, por lo que cualquier mapa de este tipo induce el mapa cero en grupos homotópicos. Si todos estos grupos de cohomología desaparecieran, entonces, entre otras cosas, los grupos no tendrían extensiones centrales no triviales y, por tanto, todos los grupos finitos no tendrían extensiones centrales no triviales. $p$ -serían abelianos elementales.

( Edita: Hay que admitir que los ejemplos anteriores no suelen implicar complejos finitos. Pero con la $G$ podemos tomar $BG$ sea una variedad asférica y entonces podemos truncar $B^n A$ .)

Este es el análogo preciso, en topología, del hecho en álgebra homológica de que en la mayoría de las categorías abelianas interesantes $\text{Ext}^i$ puede ser no trivial para $i \ge 1$ que refleja la existencia de mapas en categorías derivadas entre dos objetos que no tienen grupos homológicos distintos de cero en ningún grado compartido.

La cohomología de grupo resulta ser un modelo bastante bueno para la cuestión más general:

¿Qué es un conjunto completo de obstáculos para un mapa? $f : X \to Y$ (digamos puntiformes, entre complejos CW puntiformes) para ser nulohomotópico?

Hay una teoría de obstrucción que viene de intentar levantar $f$ a través de las etapas del Torre Whitehead

$$\dots \to Y_2 \to Y_1 \to Y_0 \cong Y$$

de $Y$ . Aquí $Y_k$ es el $(k-1)$ -cubierta conectada de $Y$ obtenido a partir de $Y$ matando $\pi_1, \pi_2, \dots \pi_{k-1}$ (por lo que el índice indica el grado más bajo en el que puede tener un grupo homotópico no trivial). En particular $Y_1$ es la componente conexa del punto base y $Y_2$ es la cubierta universal.

En cada etapa, supongamos que hemos levantado $f$ a un mapa $f_n : X \to Y_n$ . Ahora, $Y_n$ tiene el grupo homotópico más bajo $\pi_n(Y_n) \cong \pi_n(Y)$ y, por tanto, existe un mapa natural

$$k_n : Y_n \to B^n \pi_n(Y)$$

que induce un isomorfismo en $\pi_n$ . El pullback de este mapa a lo largo de $f_n$ da una clase de cohomología

$$k_n \in H^n(X, \pi_n(Y))$$

que también llamaré $k_n$ y $f_n$ ascensores a un mapa $f_{n+1} : X \to Y_{n+1}$ si esta clase de cohomología desaparece. (En general, $k_n$ sólo está bien definida una vez que hemos elegido un ascensor $f_n$ .) El remate ahora es que $f$ es nulo-homotópico si todos los ascensores $f_n$ existe si todas las clases $k_n$ desaparecer. Si $X$ tiene dimensión cohomológica finita, en principio sólo hay que comprobar un número finito de condiciones.

Por ejemplo. Sea $Y = BO$ es el espacio clasificador de los haces vectoriales reales estables, sea $X$ sea una variedad lisa, y sea $f : X \to BO$ sea el mapa clasificador del haz tangente estable. Entonces $f$ es nulo-homotópico si $X$ es establemente paralelizable. Las clases características $k_n$ son periódicas Bott. Aquí están los primeros:

$k_1$ es la primera clase de Stiefel-Whitney $w_1$ . Desaparece si $f$ ascensores a un mapa $f_2 : X \to BSO$ si $X$ es orientable. Aquí $BSO$ es $Y_2$ .

$k_2$ es la segunda clase de Stiefel-Whitney $w_2$ . Desaparece si $f_2$ ascensores a un mapa $f_3 : X \to BSpin$ si $X$ tiene una estructura de espín. Aquí $BSpin$ es $Y_3 \cong Y_4$ .

$k_3$ desaparece automáticamente. $k_4$ es la primera clase fraccionaria de Pontryagin $\frac{p_1}{2}$ . Desaparece si $f_3$ ascensores a un mapa $f_5 : X \to BString$ si $X$ tiene una estructura de cadena. Aquí $BString$ es $Y_5 \cong Y_6 \cong Y_7$ .