área cerrada más cercana al número entero es

Question

Sea $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k},\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k},\vec{c}=5\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$

sean tres vectores. Entonces el área del regin formado por los

vector de posición $\vec{r}$ satisfacen la ecuación $\hat{r}\cdot \vec{a}=5$

y $|\vec{r}-\vec{b}|+|\vec{r}-\vec{c}|=4$ más cercano al número entero, es

Lo que intento

Sea $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}.$ Entonces $x+y+z=5\cdots \cdots (1)$

y $\displaystyle \sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2+(z-1)^2}+\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2+(z+1)^2}=4$

$\displaystyle \sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2+(4-x-y)^2}+\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2+(6-x-y)^2}=4\cdots (2)$

ayúdenme a resolverlo por favor

Answer 1

Para ampliar la respuesta anterior de @mathsdiscussion.com.

La ecuación $r.a=5$ determina un plano. Además, hace que el problema sea mucho más fácil de resolver si se observa que $b$ y $c$ se encuentran en este plano y están a una distancia $\sqrt 14$ aparte.

Un punto $r$ en el plano que satisface la otra ecuación es tal que la suma de su distancia a $a$ y su distancia a $b$ es $4$ . Por lo tanto, se encuentra en una elipse.

Para la ecuación estándar de la elipse $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

La distancia entre los focos es $2\sqrt{(a^2-b^2)}$ .

La suma de las distancias' es $2a$ .

La zona es $\pi ab$ .

Así que ahora tenemos que resolver $2a=4$ y $2\sqrt{(a^2-b^2)}=\sqrt 14$ . Entonces $a=2, b=\frac{1}{\sqrt 2}$ .

El área de la elipse es $\pi ab=\pi \sqrt 2$ .

Answer 2

La intersección de dos será elipse con longitud de eje mayor como 4 y eje menor como $ \sqrt{2}$ Por lo tanto, el área será $\\$ . $ \sqrt{2}π $ .