mostrar desigualdad $\frac{1}{128}\ge \sum_{1\le i\neq j\leq n}a_i^5a_j^3$

Question

Sea $a_1,...a_n$ sean reales positivos con suma 1. Demostrar que

$$\frac{1}{128}\ge \sum_{1\le i\neq j\leq n}a_i^5a_j^3$$

Parece difícil demostrarlo .

Answer 1

Demostraremos la afirmación para los reales no negativos. En primer lugar, para cualquier $a_i, a_j$ tenemos $(a_i-a_j)^2\ge 0\implies a_ia_j\le \frac{1}{4}(a_i+a_j)^2\le \frac{1}{4}$ . Por lo tanto, la suma en cuestión es como máximo $\frac{1}{16}\sum_{i\neq j}a_i^3a_j=\frac{1}{16}\sum_i a_i^3(1-a_i)$ por lo que basta con comprobar que $\sum_i a_i^3(1-a_i)\le \frac{1}{8}$ cuando $a_i$ suma a $1$ . Podemos hacerlo por inducción en $n$ . Para el caso base $n=2$ Esto es sólo $8a_1a_2(a_1^2+a_2^2)\le 1=(a_1+a_2)^4\Leftrightarrow (a_1-a_2)^4\ge 0$ .

Supongamos ahora que la desigualdad se cumple para $n=k$ . Supongamos que $a_1, \ldots, a_{k+1}$ tienen suma uno, y WLOG supone $a_1\le a_2\le \cdots \le a_{k+1}$ para que $a_1+a_2\le \frac{2}{n}\le \frac{3}{4}$ . Entonces afirmamos que la suma en cuestión aumentó bajo la transformación $(a_1, a_2)\to (0, a_1+a_2)$ . En efecto, la diferencia de la suma después de esta transformación y antes de ella es: $$(a_1+a_2)^3-a_1^3-a_2^3-(a_1+a_2)^4+a_1^4+a_2^4=a_1a_2(3a_1+3a_2-4a_1^2-6a_1a_2-4a_2^2)\ge a_1a_2(4(a_1+a_2)^2-4a_1^2-6a_1a_2-4a_2^2)\ge 0$$ Por lo tanto, basta con comprobar que $\sum_{i=1}^kb_i^3(1-b_i)\le \frac{1}{8}$ donde $b_1=a_1+a_2, b_i=a_{i+1}, 2\le i\le k$ . Pero esto está cubierto por la hipótesis inductiva (después de reindexar el $b_i$ ), así que la inducción se ha completado y hemos terminado.

La igualdad se cumple cuando dos de las variables son $\frac{1}{2}$ y el resto son $0$ .