¿Cómo distinguir la diferencia entre un signo negativo y un signo menos en álgebra?

Question

Tanto el símbolo del signo negativo como el de la resta tienen el mismo aspecto, así que ¿cómo distinguirlos?

Answer 1

Del mismo modo que distinguimos diferentes significados de ' $\cdot$ ', por ejemplo (p. ej, $x\cdot y$ multiplicación ordinaria de números reales $a$ y $b$ ; $\vec a\cdot\vec y$ es decir, el producto punto de los vectores $\vec x$ y $\vec y$ ; $\|\cdot\|$ en el que el punto es un marcador de posición): por contexto. No es diferente del problema de distinguir en inglés varios significados bastante diferentes de huelga una acción laboral" y la del jugador de béisbol huelga que se produce cuando se balancea y hace no conseguir huelga la pelota.

El lenguaje cotidiano está lleno de palabras con múltiples significados, a veces incluso contradictorios ( hendidura 'cortar algo' y hendidura 'adherirse'). El lenguaje matemático quizás sufra un poco menos de esta sobrecarga, pero está lejos de ser inmune: basta con ver la sobrecarga de las palabras regular y normal . Lo mismo ocurre con la notación matemática; el uso de un único símbolo para el signo menos unario y binario es sólo uno de los ejemplos más conocidos. En todos estos casos, la respuesta a su pregunta es que nos basamos en el contexto para desambiguar la palabra o el símbolo. Esto suele funcionar bastante bien, sobre todo en matemáticas; a veces falla.

En el caso concreto que nos ocupa, la pista contextual más relevante es simplemente el número de operandos asociados al $-$ si hay dos, como en $a-b$ es el operador binario de la resta; si sólo hay uno, como se deduce del paréntesis en $a(-b)$ es el operador unario de tomar la inversa aditiva.

Answer 2

Extracto de Wikipedia: +/-#- .

El signo menos tiene tres usos principales en matemáticas:

1. El operador de resta: Un operador binario para indicar la operación de resta, como en $5 3 = 2$ . La resta es la inversa de la suma.
2. Directamente delante de un número y cuando no es un operador de resta significa un número negativo. Por ejemplo $5$ es negativo $5$ .
3. Un operador unario que actúa como una instrucción para reemplazar el operando por su opuesto. Por ejemplo, si $x$ es $3$ entonces $x$ es $3$ pero si $x$ es $3$ entonces $x$ es $3$ . Del mismo modo, $(2)$ es igual a $2$ .

Comentario:

1. Si tiene números o variables a ambos lados del símbolo $-$ entonces significa substracción.
2. Si no hay ningún número o variable antes del símbolo $-$ entonces significa negación. Cuidado: los paréntesis no son variables.

Answer 3

Siento discrepar con la descripción de wikipedia, que parece escrita para los débiles de mente, pero no describe el uso del signo " $-$ " en matemáticas, o en programación informática, correctamente. En particular, no es necesario distinguir el uso de un "indicador negativo" (caso 2., como en $-5$ ) del uso como "operador de negación" (unario) (caso 3. como en $-x$ o supongo que, por ejemplo, en $-\pi$ o en $-i$ cuando $i$ designa la unidad imaginaria). Un puede por supuesto decretar que el caso 2. se aplica si y sólo si el signo " $-$ " no tiene operando izquierdo y un operando derecho que es una constante numérica explícita (una secuencia de dígitos, posible parte fraccionaria empezando por el punto decimal); entonces hay que eliminar ese caso del caso 3. para evitar ambigüedades. Pero la cuestión es que el caso 3. cubre perfectamente casos como $-5$ o $-5.272023$ : el valor denotado es el opuesto al del operando (derecho) del signo menos. Decir que el caso 2. es un "signo negativo" no tiene ningún valor añadido; lo que ocurre es que las constantes numéricas explícitas descritas anteriormente siempre designan números no negativos, por lo que ese caso particular siempre describe un número real no positivo. Hacer la distinción sólo plantea cuestiones inútiles como si existe un indicador negativo en $-\frac15$ y en $-1/5$ ? O en $-0.00$ que no es más negativo que $0$ es positivo. Por lo tanto diría

• En matemáticas no existe el signo negativo. Para expresar el hecho de que el valor de una expresión $E$ es negativo, se escribe $E<0$ y esto no implica el signo " $-$ " en absoluto.

• El significado básico de " $-$ " es como un operador binario, donde $x-y$ describe el valor único $z$ tal que $z+y=x$ .

• Cuando se utiliza sin operando a la izquierda (es decir, como operador unario), el valor $0$ se toma implícitamente como operando izquierdo. Así que $-x$ significa $0-x$ . Y $-5$ significa $0-5$ el valor único $z$ tal que $z+5=0$ que puede parecer indirecta, pero es correcta.

El hecho de que $-5$ no es una expresión constante explícita como $24$ pero el resultado de aplicar un operador unario a " $5$ "y que el valor indicado por " $-5$ "no tiene cualquier representación numérica directa no debe ser chocante; tampoco $\pi$ o $\frac17$ (porque los decimales tienen que parar en algún sitio) o $3+4i$ tienen cualquier constante numérica que los designe, sin utilizar operadores. En cuanto a la programación, apenas conozco ningún lenguaje cuya sintaxis para constantes numéricas permita $-5$ la mayoría, si no todos, lo entenderían como el signo menos unario aplicado a la constante $5$ . (Sin embargo si la notación científica con exponente-de- $10$ se incluye, el posible signo menos del exponente formará parte de la sintaxis de la constante, ya que un operador no tiene sentido en esa posición).

Así que la única cuestión relevante es si " $-$ " se utiliza en un caso específico como operador unario o binario, que se determina simplemente por la ausencia o presencia de un operando izquierdo aplicable; cuál es el caso está bastante claro en la práctica.

Podría añadir que en los puntos anteriores tiene sentido invertir el orden al hablar del uso unario y binario, haciendo que $-x$ el caso más básico (el valor único $z$ con $z+x=0$ ), y considerando $x-y$ y abreviatura de $x+-y$ al final, para el significado de cada operador no hay diferencia entre el enfoque que se utilice.

Answer 4

El signo "-" como operador unario se deriva de las definiciones fundamentales. Esto suele hacerse en el marco de los grupos abelianos, donde la operación básica es "+". Por definición existe una identidad (aditiva) denotada por digamos $0$ : $a+0=a$ . Además, cada elemento tiene un inverso aditivo, por ejemplo $a'$ : $a+a'=0$ . Este invese es único. Entonces escribimos $-a$ en lugar de $a'$ . $b-a$ es por definición $b+(-a)$ . Y podemos ampliarlo a cualquier número de elementos y operaciones.

Manas