¿Existe un mapa de suryectiva abierta continua desde la 2-esfera al 2-toro?

Question

¿Existe un mapa sobreyectivo abierto continuo desde la 2-esfera $S^2$ al 2-toro $S^1 \times S^1$?

[Algunas ideas: Dado que ambos espacios son compactos, cualquier mapa sobreyectivo continuo es un mapa cociente. Hay muchos mapas así, pero no todos son abiertos. Considera proyectar la 2-esfera en un disco, distorsionar el disco en $[0,1]^2$ y luego mapear $[0,1]^2$ al 2-toro (este último mapeo no es abierto).]

Answer 1

Si es posible, sea $f\colon \Bbb S^2\to \Bbb S^1\times \Bbb S^1$ una aplicación abierta continua. Tenga en cuenta que $\Bbb Z^2$ actúa sobre $\Bbb R^2$ de manera propiamente discontinua de la siguiente forma: $$ (m,n)\cdot (x,y):=(x+m, y+n)\text{ para }(x,y)\in\Bbb R^2, (m,n)\in \Bbb Z^2.$$ Sea $p\colon \Bbb R^2\to \Bbb R^2/\Bbb Z^2$ la aplicación de órbita. Entonces $p$ es un mapa de cobertura debido a la acción propiamente discontinua. Además, $\Bbb R^2/\Bbb Z^2$ es homeomorfo a $\Bbb S^1\times \Bbb S^1$. Dado que $\pi_1(\Bbb S^2)$ es el grupo trivial, tenemos un mapa $\widetilde f\colon \Bbb S^2\to \Bbb R^2$ tal que $p\circ \widetilde f=f$.

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Aquí mostramos que $\widetilde f$ es un mapa abierto. Entonces, sea $U$ un subconjunto abierto de $\Bbb S^2$. Luego, $V:=f(U)$ es abierto en $\Bbb S^1\times \Bbb S^1$ ya que $f$ es un mapa abierto. Cubramos $V$ con subconjuntos abiertos admisibles $\{V_\alpha:\alpha\in \mathcal A\}$ del mapa de cobertura $p\colon \Bbb R^2\to \Bbb S^1\times \Bbb S^1$, es decir, podemos escribir $V_\alpha$ como una unión contable de conjuntos abiertos $\left\{V_{\alpha n}\subseteq_\text{open}\Bbb R^2:n\in \Bbb N\right\}$ tal que $p\big|V_{\alpha n}\to V_\alpha$ es un homeomorfismo para cada $(\alpha, n)\in \mathcal A\times \Bbb N$.

Definamos $U_\alpha:=f^{-1}(V_\alpha)\cap U$, es decir, $\{U_\alpha:\alpha\in \mathcal A\}$ es una cubierta abierta de $U$. De esta manera, $p\widetilde f(U_\alpha)\subseteq_\text{open} V_\alpha$ para cada $\alpha\in \mathcal A$ ya que $f$ es un mapa abierto. Por lo tanto, $\widetilde f(U_\alpha)$ es la unión disjunta de conjuntos abiertos $\left\{\widetilde f(U_\alpha)\cap p^{-1}(V_{\alpha n})\subseteq_\text{open}\Bbb R^2: n\in \Bbb N\right\}$ para cada $\alpha\in \mathcal A$. En particular, $\widetilde f(U_\alpha)$ es abierto en $\Bbb R^2$ para cada $\alpha\in \mathcal A$. Por lo tanto, $\widetilde f(U)=\bigcup_{\alpha\in \mathcal A} \widetilde f(U_\alpha)$ es un subconjunto abierto de $\Bbb R^2$. De este modo, $\widetilde f\colon \Bbb S^2\to \Bbb R^2$ es un mapa abierto; en particular, $\widetilde f (\Bbb S^2)$ es un subconjunto abierto de $\Bbb R^2$. (Gracias a @Dabouliplop por señalar un error en la versión anterior de esta respuesta)

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Además, $\Bbb S^2$ es compacto, y $\Bbb R^2$ es de Hausdorff, es decir, $\widetilde f(\Bbb S^2)$ es un subconjunto cerrado de $\Bbb R^2$. El único subconjunto clopen del espacio conectado $\Bbb R^2$ es o bien $\varnothing$ o $\Bbb R^2$. Por lo tanto, $\widetilde f(\Bbb S^2)=\Bbb R^2$, lo cual es imposible ya que la imagen continua de un espacio compacto es compacta, y $\Bbb R^2$ no es compacto.

Answer 2

Solo quería proporcionar una prueba alternativa (que tiene un poco más de sentido para mí) de que el mapa $\tilde f$ en la respuesta de @Sumanta es abierto.

Tomemos $U \subset S^2$ abierto, tal que $V = f(U)$ es abierto. Dado que $p$ es un mapa de recubrimiento y $V$ es abierto, para cada $x \in V$ hay un conjunto abierto conectado $V_x \subset V$ que contiene a $x$, de modo que $p^{-1}(V_x)$ se puede escribir como la unión de conjuntos abiertos disjuntos $V_{x \beta}, \beta \in \mathcal{B}_x$, de tal forma que $p \colon V_{x \beta} \to V_x$ es un homeomorfismo: $$p^{-1}(V_x) = \bigcup_{\beta \in \mathcal{B}_x} V_{x \beta}, \quad V =\bigcup_{x \in V} V_x.$$ Dado que $V_x$ es conexo, cada $V_{x \beta}$ es conexo, y así los conjuntos $\{V_{x \beta}\}$ son los componentes conexos de $p^{-1}(V_x)$.

Dejando $U_x = f^{-1}(V_x) \cap U$, sabemos que $$U = \bigcup_{x \in V} U_x, \quad \tilde f(U_x) \subset p^{-1}(V_x).$$ Sean $U_{x \gamma}$, $\gamma \in \Gamma_x$, los componentes conexos de $U_x$. Dado que $U_x \subset S^2$ es abierto (y por lo tanto conexo localmente), los componentes conexos $U_{x \gamma}$ son abiertos. Por lo tanto, cada $f(U_{x \gamma})$ es abierto (ya que $f$ es abierto).

Dado que cada $\tilde f(U_{\gamma x})$ es conexo y está contenido en $p^{-1}(V_x)$, existe un $\beta_{\gamma}$ tal que $\tilde f(U_{\gamma x}) \subset V_{x \beta_\gamma}$. Por lo tanto, $p \colon \tilde f(U_{\gamma x}) \to p(\tilde f(U_{\gamma x})) = f(U_{\gamma x})$ es un homeomorfismo. Dado que $f(U_{\gamma x})$ es abierto, esto implica que $\tilde f(U_{\gamma x})$ es abierto. Por lo tanto, $\tilde f(U_x)$ es abierto, y así lo es $\tilde f(U)$.