Permítanme hablar de las conjeturas de Beilinson comenzando con $\zeta$ -de campos numéricos y $K$ -teoría. El espacio es limitado, pero a ver si puedo contar una historia coherente.
La función zeta de Dedekind y el regulador de Dirichlet
Supongamos que $F$ un campo numérico, con $$[F:\mathbf{Q}]=n=r_1+2r_2,$$ donde $r_1$ es el número de incrustaciones reales, y $r_2$ es el número de incrustaciones complejas. Escriba $\mathcal{O}$ para el anillo de enteros de $F$ .
Aquí está la serie de potencias para el Función zeta de Dedekind : $$\zeta_F(s)=\sum|(\mathcal{O}/I)|^{-s},$$ donde la suma se toma sobre los ideales no nulos $I$ de $\mathcal{O}$ .
He aquí algunos datos analíticos clave sobre esta serie de potencias:
-
Esta serie de potencias converge absolutamente para $\Re(s)>1$ .
-
La función $\zeta_F(s)$ puede continuarse analíticamente hasta una función meromórfica en $\mathbf{C}$ con un poste simple en $s=1$ .
-
Existe la Expansión del producto de Euler : $$\zeta_F(s)=\prod_{0\neq p\in\mathrm{Spec}(\mathcal{O}_F)}\frac{1}{1-|(\mathcal{O}_F/p)|^{-s}}.$$
-
La función zeta de Dedekind satisface a ecuación funcional relativa a $\zeta_F(1-s)$ y $\zeta_F(s).$
-
Si $m$ es un número entero positivo, $\zeta_F(s)$ tiene un (posible) cero en $s=1-m$ de orden $$d_m=\begin{cases}r_1+r_2-1&\textrm{if }m=1;\\ r_1+r_2&\textrm{if }m>1\textrm{ is odd};\\ r_2&\textrm{if }m>1\textrm{ is even}, \end{cases}$$ y su valor especial en $s=1-m$ es $$\zeta_F^{\star}(1-m)=\lim_{s\to 1-m}(s+m-1)^{-d_m}\zeta_F(s),$$ el primer coeficiente distinto de cero de la expansión de Taylor en torno a $1-m$ .
Nuestro interés se centra en estos valores especiales de $\zeta_F(s)$ en $s=1-m$ . A finales del siglo XIX, Dirichlet descubrió una interpretación aritmética del valor especial $\zeta_F^{\star}(0)$ . Recordemos que el Mapa regulador de Dirichlet es la incrustación logarítmica $$\rho_F^D:\mathcal{O}_F^{\times}/\mu_F\to\mathbf{R}^{r_1+r_2-1},$$ donde $\mu_F$ es el grupo de raíces de la unidad de $F$ . El covolumen de la red de imágenes es el Regulador Dirichlet $R^D_F$ . Con esto, tenemos la
Fórmula analítica de Dirichlet para el número de clase . El orden de desaparición de $\zeta_F(s)$ en $s=0$ es $\operatorname{rank}_\mathbf{Z}\mathcal{O}_F^\times$ y el valor especial de $\zeta_F(s)$ en $s=0$ viene dada por la fórmula $$\zeta_F^{\star}(0)=-\frac{|\mathrm{Pic}(\mathcal{O}_F)|}{|\mu_F|}R^D_F.$$
Ahora, usando lo que sabemos sobre la parte inferior $K$ -teoría, tenemos: $$K_0(\mathcal{O})\cong\mathbf{Z}\oplus\mathrm{Pic}(\mathcal{O})$$ y $$K_1(\mathcal{O}_F)\cong\mathcal{O}_F^{\times}.$$
Así que la fórmula del número de clase analítica de Dirichlet se lee: $$\zeta_F^{\star}(0)=-\frac{|{}^{\tau}K_0(\mathcal{O})|}{|{}^{\tau}K_1(\mathcal{O})|}R^D_F,$$ donde ${}^{\tau}A$ denota el subgrupo de torsión del grupo abeliano $A$ .
El regulador de Borel y las conjeturas de Lichtenbaum
Mantengamos las notaciones de la sección anterior.
Teorema [Borel]. Si $m>0$ es par, entonces $K_m(\mathcal{O})$ es finito.
A principios de la década de 1970, A. Borel construyó el Mapas reguladores de Borel utilizando la estructura de la homología de $SL_n(\mathcal{O})$ . Se trata de homomorfismos $$\rho_{F,m}^B:K_{2m-1}(\mathcal{O})\to\mathbf{R}^{d_m},$$ uno por cada número entero $m>0$ generalizando el regulador de Dirichlet (que es el regulador de Borel cuando $m=1$ ). Borel demostró que para cualquier número entero $m>0$ el núcleo de $\rho_{F,m}^B$ es finito, y que el mapa inducido $$\rho_{F,m}^B\otimes\mathbf{R}:K_{2m-1}(\mathcal{O})\otimes\mathbf{R}\to\mathbf{R}^{d_m}$$ es un isomorfismo. Es decir, el rango de $K_{2m-1}(\mathcal{O})$ es igual al orden de fuga $d_m$ de la función zeta de Dedekind $\zeta_F(s)$ en $s=1-m$ . Por lo tanto, la imagen de $\rho_{F,m}^B$ es una red en $\mathbf{R}^{d_m}$ su covolumen se denomina Regulador de Borel $R_{F,m}^B$ .
Borel demostró que el valor especial de $\zeta_F(s)$ en $s=1-m$ es un múltiplo racional del regulador de Borel $R_{F,m}^B$ , viz .: $$\zeta_F^{\star}(1-m)=Q_{F,m}R_{F,m}^B.$$ En torno a 1971, Lichtenbaum formuló la siguiente conjetura, que ofrece una descripción conjetural de $Q_{F,m}$ .
Conjetura [Lichtenbaum]. Para cualquier número entero $m>0$ se tiene $$|\zeta_F^{\star}(1-m)|"="\frac{|{}^{\tau}K_{2m-2}(\mathcal{O})|}{|{}^{\tau}K_{2m-1}(\mathcal{O})|}R_{F,m}^B.$$ (Aquí la notación $"="$ indica que se tiene igualdad hasta una potencia de $2$ .)
Conjeturas de Beilinson
Supongamos ahora que $X$ es una variedad propia lisa de dimensión $n$ en $F$ Para simplificar, supongamos que $X$ tiene buena reducción en todos los primos. La pregunta que podríamos hacernos es, ¿cuál podría ser un análogo de las conjeturas de Lichtenbaum que nos proporcionara una interpretación de los valores especiales de $L$ -funciones de $X$ ? Resulta que como los campos numéricos tienen dimensión cohomológica motivacional $1$ valores especiales de sus $\zeta$ -pueden formularse utilizando únicamente $K$ -pero la vida no es tan fácil si tenemos variedades de mayor dimensión; para ello, debemos utilizar la filtración de peso en $K$ -en detalle; esto nos lleva a la cohomología motivacional.
Escriba a $\overline{X}:=X\otimes_F\overline{F}$ . Ahora, para cada primo distinto de cero $p\in\mathrm{Spec}(\mathcal{O})$ podemos elegir un primo $q\in\mathrm{Spec}(\overline{\mathcal{O}})$ tumbado $p$ y podemos contemplar el subgrupo de descomposición $D_{q}\subset G_F$ y el subgrupo de inercia $I_{q}\subset D_{q}$ .
Ahora bien $\ell$ es un primo sobre el que $p$ no miente y $0\leq i\leq 2n$ entonces la inversa $\phi_{q}^{-1}$ del Frobenius aritmético $\phi_{q}\in D_{q}/I_{q}$ actúa sobre la $I_{q}$ -subespacio invariante $H_{\ell}^i(\overline{X})^{I_{q}}$ de la $\ell$ -cohomología ádica $H_{\ell}^i(\overline{X})$ . Podemos contemplar el polinomio característico de esta acción: $$P_{p}(i,x):=\det(1-x\phi_{q}^{-1}).$$ Se ve que $P_{p}(i,x)$ no depende de la elección concreta de $q$ y es una consecuencia de la demostración de Deligne de las conjeturas de Weil que el polinomio $P_{p}(i,x)$ tiene coeficientes enteros que son independientes de $\ell$ . (Si hay primos de mala reducción, esto se espera por una conjetura de Serre).
Esto nos permite definir el local $L$ -factor en el lugar finito correspondiente $\nu(p)$ : $$L_{\nu(p)}(X,i,s):=\frac{1}{P_{p}(i,p^{-s})}$$ También podemos definir $L$ -también en infinitos lugares. En aras de la brevedad, permítanme pasar por alto esto por ahora. (Puedo completar los detalles más tarde si lo desea).
Con estos $L$ -definimos los factores $L$ -función de $X$ mediante la expansión del producto de Euler $$L(X,i,s):=\prod_{0\neq p\in\mathrm{Spec}(\mathcal{O})}L_{\nu(p)}(X,i,s);$$ este producto converge absolutamente para $\Re(s)\gg 0$ . También definimos el $L$ -en el primo infinito $$L_{\infty}(X,i,s):=\prod_{\nu|\infty}L_{\nu}(X,i,s)$$ y el completo $L$ -función $$\Lambda(X,i,s)=L_{\infty}(X,i,s)L(X,i,s).$$
Estas son las propiedades analíticas esperadas del $L$ -función de $X$ .
-
El producto de Euler converge absolutamente para $\Re(s)>\frac{i}{2}+1$ .
-
$L(X,i,s)$ admite una continuación meromórfica en el plano complejo, y el único polo posible se encuentra en $s=\frac{i}{2}+1$ para $i$ incluso.
-
$L\left(X,i,\frac{i}{2}+1\right)\neq 0$ .
-
Hay un ecuación funcional relativa a $\Lambda(X,i,s)$ y $\Lambda(X,i,i+1-s).$
Beilinson construye el Regulador Beilinson $\rho$ de la parte $H^{i+1}_{\mu}(\mathcal{X},\mathbf{Q}(r))$ de cohomología motivacional racional de $X$ procedente de un modelo suave y adecuado $\mathcal{X}$ de $X$ (se conjetura que es una invariante de la elección de $\mathcal{X}$ ) a la cohomología de Deligne-Beilinson $D^{i+1}(X,\mathbf{R}(r))$ . Esto ya se ha debatido aquí . Es bueno saber que ahora tenemos una relación precisa entre el regulador de Beilinson y el regulador de Borel. (Coinciden exactamente hasta la potencia del factor fudge de $2$ que aparece en el enunciado de la conjetura de Lichtenbaum anterior).
Supongamos ahora $r<\frac{i}{2}$ .
Conjetura [Beilinson]. El regulador Beilinson $\rho$ induce un isomorfismo $$H^{i+1}_{\mu}(\mathcal{X},\mathbf{Q}(r))\otimes\mathbf{R}\cong D^{i+1}(X,\mathbf{R}(r)),$$ y si $c_X(r)\in\mathbf{R}^{\times}/\mathbf{Q}^{\times}$ es el isomorfismo anterior calculado en bases racionales, entonces $$L^{\star}(X,i,r)\equiv c_X(r)\mod\mathbf{Q}^{\times}.$$
