La curva proyectiva $3x^3+4y^3+5z^3=0$ se cita a menudo como ejemplo (dado por Selmer) de un fracaso de la Principio Hasse la ecuación tiene soluciones en cualquier terminación de los racionales $\mathbb Q$ pero no en $\mathbb Q$ sí mismo.
Creo que nunca he visto una prueba de esta última afirmación, ¿alguien puede proporcionar un esbozo? ¿Cuáles son las herramientas necesarias?
Este problema está en el libro de Cassels "Local Fields" y una vez escribí una solución en este sentido, para una clase de teoría algebraica de números. Véase
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/selmerexample.pdf ,
pero debo advertir que resulta bastante tedioso. Las soluciones que implican curvas elípticas son más conceptuales. Otros ya han proporcionado punteros a referencias para ese enfoque.
Mi amigo ha escrito antes una introducción a la teoría algebraica de números, que contiene una breve demostración de esta afirmación, pero no he comprobado su validez.
Edita: actualizado el enlace del documento, http://www.2shared.com/document/2d6M7kNU/Introduction_to_Algebraic_Numb.html p. 41 del documento, o p. 45 del PDF.
La técnica "estándar" para acabar con el principio de Hasse para curvas elípticas es demostrar que el grupo Tate-Shafarevich tiene una copia de (Z/mZ)^2 para algún m - véase el capítulo X de Silverman's the arithmetic of Eliptic curves, tanto para la teoría como para los ejemplos. Todos los ejemplos que Silverman presenta ar con m = 2. Selmers ejemplo requiere m = 3, que requiere (mucho) más cálculos. Poonen tiene un ejemplo en su página web de una familia de curvas elípticas que violan el principio de Hasse, y que contienen el ejemplo de Selmers, pero habría que bucear por un laberinto de referencias.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
