Función de potencia desigualdad

Question

Sean $x$ y $p$ números reales con $x \ge 1$ y $p \ge 2$ . Demuestra que $(x - 1)(x + 1)^{p - 1} \ge x^p - 1$ .

Recientemente descubrí este resultado. Estoy seguro de que es conocido, pero es nuevo para mí. Es bastante fácil de probar si $p$ es un número entero, incluso uno negativo. Tengo una demostración en el caso general anterior, pero parece demasiado complicada. ¿Alguien puede proporcionar una demostración simple?

Answer 1

Probamos la desigualdad estricta para $x>1$ y $p>2$. Agregamos $1$ a ambos lados y dividimos por $x^p$ para obtener una desigualdad equivalente que puede escribirse como $$\frac{x-1}{x} \left(\frac{x+1}{x}\right)^{p-1} + \frac1x \left( \frac1x \right)^{p-1} \geq 1.$$ Dado que $p > 2$ la función $f : X \mapsto X^{p-1}$ es estrictamente convexa hacia arriba. El lado izquierdo es un promedio ponderado $$\frac{x-1}{x} f\left(\frac{x+1}{x}\right) + \frac1x f\left( \frac1x \right)$$ de valores de $f$, con pesos positivos y evaluados en diferentes valores de $X$. Por lo tanto, por la desigualdad de Jensen supera estrictamente el valor de $f$ en el promedio ponderado correspondiente de los valores de $X$, que es $$f\left(\frac{x-1}{x} \cdot \frac{x+1}{x} + \frac1x \cdot \frac1x \right) = f(1) = 1,$$ QED.

El mismo argumento muestra que la desigualdad se mantiene para $p<1$, y se invierte para $1 < p < 2$ porque entonces $f$ es cóncava hacia abajo.

Answer 2

Dado que el caso $x=1$ es trivial, asumimos $x>1$ y dividimos ambos lados por $x-1$. Se convierte en $$(x+1)^{p-1}\ge \frac{x^p-1}{x-1} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^{p-1}.$$ Expandimos el lado izquierdo usando el teorema del binomio y lo comparamos con el lado derecho.