Unidad fundamental en el anillo de los números enteros $\mathbb Z[\frac{1+\sqrt{141}}{2}]$

Question

Encontrar una unidad fundamental en el anillo de los números enteros $\mathbb Z[\frac{1+\sqrt{141}}{2}]$ de $\mathbb Q(\sqrt{141})$

Tengo diferentes corolarios para diferentes números, el más apropiado para $141$ es el de abajo.

Utilicé un algoritmo (no sé si lo sabes, pero

$\beta_0=\sqrt{141}+\lfloor\sqrt{141}\rfloor, \quad\beta_{n+1}=\frac{1}{\beta_n-\lfloor\beta_n\rfloor}$

$a_n=\lfloor\beta_n\rfloor$

$p_n=p_{n-1}a_n+p_{n-2}, \quad q_n=q_{n-1}a_n+q_{n-2} $ ) para determinar la expansión de la fracción continua de $141$

Como puede ver, la secuencia $(\beta_n)_n$ es periódica con período $t=3$ y así $\sqrt{141}=[11;\overline{1,6,22}]$ y $\pm4$ no aparece en la secuencia $r_0,\dots,r_{t-2}$ por lo que según el corolario puedo suponer entonces que la unidad fundamantel es también la solución fundamental, es decir $95+8\sqrt{141}$ ?

Answer 1

$\sqrt{141}=[11,\overline{1,6,1,22}]$ . Sí $95+8\sqrt{141}$ es una unidad fundamental.

Answer 2

La Proposición 19 dice que tenemos que comprobar algunas cosas:

• $141 > (\pm 4)^2 + \frac{1}{2}(|\pm 4| + 1)$
• Entonces $x^2 - 141y^2 = \pm 4$ aparece como solución a la ampliación continua de la fracción a $\sqrt{141}$ .

Desde $\pm 4$ no aparece en sus restos, $x^2 - 141 y^2 = \pm 4$ no tiene solución. Por lo tanto, basta con resolver la ecuación de Pell con $r = 1$ lo que está garantizado por la Propoisición 2.20

Alternativamente, la ecuación de Pell dice que podemos encontrar aproximadamente la raíz cuadrada de $141$ :

$$ \left| \frac{x}{y} - \sqrt{141} \right| = \frac{4}{y^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{\tfrac{4}{y^2} +141 }+ \sqrt{141}} \color{red}{\mathbf{<}} \frac{1}{2y^2}$$

La desigualdad en rojo es no siempre es cierto si $(4,141)$ se sustituye por $(r,d)$ así que nos inventamos esta condición como parte del teorema, para asegurarnos de que el error es lo suficientemente pequeño como para ser una fracción continua.

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La existencia de la unidad fundamental tiene que ver con la Principio de encasillamiento . De hecho, se utilizó en varios lugares. Aquí hay uno.

Algún número entero $r \in \mathbb{Z}$ debe tener infinitas soluciones a la Ec de Pell Generalizada

$$ x^2 - dy^2 = r $$

Entonces podemos tomar dos soluciones de este tipo (congruentes mod $r$ ) y los dividimos y observamos que todavía tenemos elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ .

$$ x + y\sqrt{d} = \frac{x_1 + y_1\sqrt{d}}{x_2 + y_2\sqrt{d}} = \frac{(x_1 x_2 - d \cdot y_1 y_2)+ (x_1 y_2 + y_2 x_1)\sqrt{d}}{r} $$

Esta relación es una solución a la ecuación de Pell $x^2 -d y^2 = 1$ .