mapa entre espacios clasificatorios

Question

Supongamos que $H$ es un subgrupo cerrado de un grupo de Lie $G$ y que $EG \rightarrow BG$ el haz universal.

Es bien conocido el hecho de que existe un mapa inducido $BH \rightarrow BG$ con fibra homotópica $G/H$ . La prueba también es un argumento estándar: $BH \cong EG \times_G G/H \rightarrow BG$ puede considerarse como el haz de fibras "asociado" del haz universal $EG \rightarrow BG$ .

También es un hecho bien conocido que la construcción del espacio clasificador es functorial, por lo que la inclusión $i: H \rightarrow G$ induce un mapa $Bi: BH \rightarrow BG$ .

Mi pregunta es, ¿por qué este mapa $Bi$ una fibración con fibra $G/H$ y ¿coincide (hasta la homotopía) con la primera construcción?

En general, el mapa $Bi$ surge como el mapa clasificador del principal $G$ -paquete $EG \times_H G \rightarrow BH$ así que mi idea es mostrar que el pullback del mapa $EG \times_G G/H \rightarrow BG$ es en realidad $EG \times_H G$ pero no tuve éxito.

Answer 1

En primer lugar, este no es el contexto correcto para hablar de estricto ya que el funtor del espacio clasificador sólo está definido hasta equivalencia homotópica. Aunque creo que hay construcciones que hacen que el mapa inducido $BH\rightarrow BG$ en una fibración de Serre para un subgrupo cerrado $H\leq G$ Sin embargo, estas construcciones no son únicas. Más bien habría que hablar de homotopía fibraciones en este contexto, que son simplemente el resultado de convertir un mapa arbitrario en una fibración (por ejemplo, retrocediendo desde una fibración de espacio de trayectoria). La cuestión es que este procedimiento identifica correctamente el tipo homotópico de la fibra homotópica de $Bi$ sin afirmar la existencia de ninguna propiedad de elevación homotópica o estructura de haz.

Una vez aclarado esto, abordemos la cuestión. Dejemos que $G$ sea un grupo topológico adecuado. Suponiendo que sea Lie compacto es sin duda más que adecuado. Entonces, como dices, hay un espacio clasificador asociado functorialmente $BG$ que satisfacen una determinada propiedad universal. Sin embargo, hay más, y en muchos casos es útil tener en cuenta esta estructura adicional. No sólo el espacio de clasificación $BG$ es functorial, pero hay una functorialmente asociada $G$ -fibración principal

$$G\rightarrow EG\xrightarrow{\pi_G}BG$$

donde $EG$ es una contractible libre $G$ -espacio. Escribamos $\mathcal{E}G$ para este haz principal. Entonces un homomorfismo $\varphi:G\rightarrow G'$ inducirá un morfismo de haces de fibras

$$\mathcal{E}\varphi:\mathcal{E}G\rightarrow\mathcal{E}G'.$$

El mapa inducido sobre las fibras será homotópico a $\varphi$ y el mapa inducido de espacios base es un mapa $B\varphi:BG\rightarrow BG'$ que clasifica $\varphi$ .

Nótese que el sentido de esta functoralidad es homotópico, y aunque el haz está definido estrictamente, los espacios $EG$ y $BG$ y mapas $B\varphi$ sólo se definen hasta una noción adecuada de homotopía.

Ahora dejemos que $i:H\hookrightarrow G$ sea un subgrupo. Entonces existe un mapa inducido $\mathcal{E}i:\mathcal{E}H\rightarrow\mathcal{E}G$ como arriba, y el mapa de espacios totales $Ei:EH\rightarrow EG$ es un $H$ -que es una equivalencia homotópica no equivariante, ya que $EH$ , $EG$ son ambas contractibles de forma no equivariante.

Además, como es un subgrupo, $H$ actúa libremente sobre $EG$ a través de este mapa e induce un mapa

$$Bi':BH=(EH)/H\rightarrow (EG)/H$$

de los espacios cocientes, que se ve fácilmente que es una equivalencia homotópica utilizando las propiedades universales. Por otra parte, dado que $H\leq G$ existe un mapa inducido de espacios orbitales

$$Bi'':(EG)/H\rightarrow (EG)/G=BG$$

y vemos fácilmente que

$$Bi=Bi''\circ Bi'.$$

Ahora escribimos

$$Bi'': EG/H\cong (EG\times_GG)/H\cong EG\times_G(G/H)\xrightarrow{\pi_G} BG$$

y utilizarlo para identificar la fibra homotópica de $Bi''$ como $G/H$ . Desde $Bi=Bi''\circ Bi'$ y $Bi$ es una equivalencia homotópica, se deduce que la fibra homotópica de $Bi$ es también $G/H$ .