Sea $\{a_n\}$ sea una secuencia de números complejos indexados por los enteros positivos. ¿Existe siempre una función analítica $f$ tal que $f(n) = \{a_n\}$ para $n=1,2,...$ ? En caso negativo, ¿existen condiciones simples, necesarias o suficientes, para la existencia de tales $f$ ? Esta función analítica debe definirse en algún dominio conexo del plano complejo que contenga los enteros positivos.
Para concretar, consideremos la función de Ackermann, que se define de forma recursiva: definamos primero la secuencia de funciones $A_k$ , $k=1,2,...$ como
$A_1(n) = 2n$ ,
$A_k(1) = 2$ , $A_k(n) = A_{k-1}(A_k(n-1))$ ,
y luego definir la función de Ackermann como la diagonal $A(n) = A_n(n)$ para $n \geq 1$ . ¿Existe una función analítica $f$ tal que $f(n) = A(n)$ para $n = 1,2,...$ ?
En realidad, las funciones individuales $A_k$ también son interesantes. $A_1(n) = 2n$ como se indica más arriba; $A_2(n) = 2^n$ y $A_3(n) = 2^{2^{\ldots^{2^2}}}$ (con $n$ dos en la expresión). Evidentemente, $A_1$ y $A_2$ tienen extensiones analíticas. Según Wikipedia (que utiliza una definición y notación ligeramente diferentes), extensiones analíticas de $A_3$ o $A_k$ para cualquier otro $k$ pero, por el lenguaje, no está claro si se cuestiona la existencia de una extensión o si simplemente aún no se ha encontrado. Además, no dice nada sobre la diagonal $A(n)$ (a menos que me lo haya perdido).
Hay muchas otras secuencias obvias que no parecen tener extensiones analíticas obvias, como la función de recuento de primos (¡sólo por nombrar una!). Por lo que yo sé, esto parece más la regla que la excepción. No obstante, reconozco que mis conocimientos son muy limitados, así que cualquier cosa que puedas compartir probablemente me enseñará algo.
