¿Qué secuencias pueden extenderse a funciones analíticas? (por ejemplo, la función de Ackermann)

Question

Sea $\{a_n\}$ sea una secuencia de números complejos indexados por los enteros positivos. ¿Existe siempre una función analítica $f$ tal que $f(n) = \{a_n\}$ para $n=1,2,...$ ? En caso negativo, ¿existen condiciones simples, necesarias o suficientes, para la existencia de tales $f$ ? Esta función analítica debe definirse en algún dominio conexo del plano complejo que contenga los enteros positivos.

Para concretar, consideremos la función de Ackermann, que se define de forma recursiva: definamos primero la secuencia de funciones $A_k$ , $k=1,2,...$ como

$A_1(n) = 2n$ ,
$A_k(1) = 2$ , $A_k(n) = A_{k-1}(A_k(n-1))$ ,

y luego definir la función de Ackermann como la diagonal $A(n) = A_n(n)$ para $n \geq 1$ . ¿Existe una función analítica $f$ tal que $f(n) = A(n)$ para $n = 1,2,...$ ?

En realidad, las funciones individuales $A_k$ también son interesantes. $A_1(n) = 2n$ como se indica más arriba; $A_2(n) = 2^n$ y $A_3(n) = 2^{2^{\ldots^{2^2}}}$ (con $n$ dos en la expresión). Evidentemente, $A_1$ y $A_2$ tienen extensiones analíticas. Según Wikipedia (que utiliza una definición y notación ligeramente diferentes), extensiones analíticas de $A_3$ o $A_k$ para cualquier otro $k$ pero, por el lenguaje, no está claro si se cuestiona la existencia de una extensión o si simplemente aún no se ha encontrado. Además, no dice nada sobre la diagonal $A(n)$ (a menos que me lo haya perdido).

Hay muchas otras secuencias obvias que no parecen tener extensiones analíticas obvias, como la función de recuento de primos (¡sólo por nombrar una!). Por lo que yo sé, esto parece más la regla que la excepción. No obstante, reconozco que mis conocimientos son muy limitados, así que cualquier cosa que puedas compartir probablemente me enseñará algo.

Answer 1

Es un teorema estándar en análisis complejo que si $z_n$ es una secuencia que va al infinito, existe una función entera que toma cualquier valor prescrito en el $z_n$ . Existe una función $f$ desapareciendo de orden 1 en cada $z_n$ (para $z_n=n$ , podrías tomar $f(z)=\sin \pi z$ ), y luego considerar $\sum_n a_nf(z)/(f'(z_n)(z-z_n))$ . Puede que esto no converja, pero puedes ajustarlo multiplicando cada término por algo que sea 1 a $z_n$ (Ej, $\exp(c_n(z-z_n))$ para $c_n$ elegido adecuadamente) para hacerlo converger.

(No sé de memoria cómo elegir el $c_n$ ; esto está copiado del Ejercicio 1 de la página 197 de Análisis Complejo de Ahlfors).

EDIT: Es fácil demostrar que tal $c_n$ existe. Si escribe $b_n=a_n/(z_n f'(z_n))$ para cualquier $z$ los términos de la suma serán aproximadamente $b_n \exp(c_n z_n)$ para $n$ grande. Obviamente, puede elegir $c_n$ para que ésta converja.

Answer 2

En realidad, existe un resultado aún más contundente, a menudo denominado teorema de la interpolación que se deriva de un conocido teorema de Mittag-Leffler:

Sea $(z_n)$ sea una sucesión de números complejos sin punto límite. Para cada $n$ , dejemos que $l(n)$ cualquier número entero mayor o igual que $1$ y para $0 \leq k \leq l(n)$ , dejemos que $(a_{n, k})$ be números complejos. Entonces existe una función entera $g$ tal que

$$g^{(k)}(z_n) = a_{n,k}$$

para cada $n \geq 1$ y cada $0 \leq k \leq l(n)$ .

Es decir, se pueden fijar valores para la derivada en el $z_j$ 's.

Answer 3

Si no recuerdo mal se puede obtener un resultado aún más fuerte. Deje que $a_n$ , $b_n$ y $c_n$ sean secuencias de números complejos y $i_n$ sea una secuencia de números naturales. Entonces creo que existe una función meromorfa que toma el valor $b_n$ en $a_n$ para todos $n$ y tiene un polo de orden $i_n$ en $c_n$ para todos $n$ . Suponiendo que el $a_n$ y $c_n$ son disjuntos y no tienen punto de acumulación. Hace tiempo que no pienso en el análisis complejo, pero creo recordar que aprendí esto.

Answer 4

Busca la Fórmula de Interpolación de Pringsheim en el libro de Análisis Complejo de Stein en la página 156 ejercicio 17, que te daría la existencia, y las condiciones bajo las que se mantiene.