La fibración de Hopf es un famoso mapa S 3 --> S 2 con fibra S 1 que es el generador en pi_3(S 2 ). Podemos modelar este mapa en términos de conjuntos simpliciales tomando los conjuntos simpliciales singulares de estos espacios y el mapa inducido de conjuntos simpliciales. Pero este modelo es ENORME y no es realmente útil para hacer cálculos. ¿Alguien conoce un modelo pequeño y agradable para este mapa en términos de conjuntos simpliciales? ¿Algo adecuado para hacer cálculos? Este mapa es también el mapa de unión utilizado para construir CP 2 fuera de S 2 por lo que me interesaría equivalentemente un pequeño modelo combinatorio para CP 2 .
Respuestas
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Existe un documento [ MathSciNet ] de Madahar y Arkaria llamado Una triangulación mínima del mapa de Hopf y su aplicación . Encuentran una triangulación de una 3-esfera de 12 vértices a una 2-esfera de 4 vértices. La minimalidad está en la Sección 6.a. Espero que esto sea útil.
Esto da al mapa la estructura de un mapa de complejos simpliciales. Elige un orden de los vértices tal que el mapa en el papel respete el orden. Así se obtiene un modelo del mapa sobre conjuntos simpliciales finitos.
Patrick McElhaney
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Aquí tienes algo que puedes probar. Empezar con el modelo simplicial más pequeño para S 1 (el 1-simplex modulo su frontera). Tomemos el grupo libre en cada grado (pero obliguemos a que el punto base sea la identidad). El grupo simplicial resultante FS 1 es un modelo para ΩS 2 ; además, al ser un grupo simplicial, es un complejo de Kan. Por tanto, sabemos que debe existir algún mapa f: S 2 ->FS 1 que representa el generador de π 2 ΩS 2 el grupo de FS 1 en el grado 2 no es demasiado grande, por lo que no debería ser difícil escribirlo explícitamente (aunque no lo he intentado).
Por supuesto, usted realmente quiere un mapa S 3 ->X, donde X modela la 2-esfera. Dado que FS 1 es un grupo simplicial, sea X=BF 1 es clasificar el espacio. X es un modelo para la 2-esfera, y espero que si lo examinas de cerca, verás que la "suspensión" de f corresponde a algún 3-simplex explícito en X, que es tu modelo.
No estoy seguro de que esto cuente como "modelo combinatorio", por supuesto.
(Tengo un vago recuerdo de que Dan Kan hizo algo parecido en uno de sus trabajos en los años 50.) ¿Es cierto?)
dmeister
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Existe una pequeña descripción del conjunto simplicial del mapa de Hopf en Tesis de Clemens Berger , Ejemplo 1.19, pp. 45-47.
Patrick McElhaney
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He aquí una respuesta diferente. La fibración de Hopf S 3 -> S 2 es un principal U(1)-bundle, lo que significa que es el pullback del universal U(1)-bundle a lo largo de un mapa S 2 ->BU(1).
Hay un modelo simplicial E->B de la fibración universal sobre BU(1) que es una fibración Kan: como BU(1) es K(Z,2), se puede tomar B como un grupo abeliano simplicial asociado al complejo de cadena C concentrado en grado 2, y E es el grupo abeliano simplicial asociado a un complejo acíclico A que tiene un mapa suryectivo a C. Ahora retrocede a lo largo de S 2 ->B y obtener un haz Y->S 2 y ya está. El conjunto simplicial Y será un modelo para S 3 .
Ryan Ahearn
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Deberías poder trivializar el haz sobre cada hemisferio y hacer un bucle en la función de transición sobre el ecuatorial S^1 (que presumiblemente es el mapa de identidad S^1 \to S^1 actuando como rotaciones en la fibra). Usando esto, no debería ser difícil escribir una aproximación simplicial geométrica explícita al mapa de Hopf. Alternativamente, podrías modelar S^1 como un grupo simplicial (el grupo abeliano libre sobre un 1-simplex y sus degeneraciones) y obtener un haz principal simplicial sobre S^2 (que deberías poder modelar con un 0-simplex, un 1-simplex (el ecuador), y dos 2-simples) a partir de esta función de transición.
