preguntas sobre el número Jacobosthal.

Question

El número de Jacobosthal se define por $J_n=J_{n-1}+2J_{n-2},J_0=0,J_1=1$ . La parte inicial de la secuencia es $0,1,1,3,5,11,21,43,85,\dots\;$ . Cómo demostrar que este número es el número de números que está entre $2^n$ y $2^{n+1}$ y divisible por $3$ ?

Answer 1

Encuentra el siguiente número después de $2^n$ que sea divisible por 3. Haz lo mismo para $2^{n+1}$ . Ahora, divide su diferencia por 3 para hallar el número de múltiplos de 3.

Answer 2

Si $n$ es impar, los números divisibles por $3$ en nuestro intervalo son $2^n+1$ , $2^n+4$ y así sucesivamente hasta $2^{n+1}-1$ . Ahora podemos contarlos. Hay que tener un poco de cuidado. La respuesta es $$\frac{1}{3}((2^{n+1}-1)-(2^n+1))+1.$$ (Es fácil olvidarse de la $+1$ .)

Si $n$ es par, los números relevantes son $2^n+2$ , $2^n+5$ y así sucesivamente hasta $2^{n+1}-2$ . De nuevo, podemos contarlos.

Ahora verifique que estos recuentos satisfacen la recurrencia y las condiciones iniciales.

O bien observa que la recurrencia es lineal homogénea con coeficientes constantes. Resolvemos la recurrencia con uno de los métodos habituales. Obtenemos $$J_n=\frac{1}{3}\left(2^n-(-1)^n\right).$$ Compruebe que coincide con los recuentos obtenidos anteriormente.