La Pregunta Que Yo: Vamos A $\varphi\in C^{\infty}_c(\mathbb R\times \mathbb R)$. El apoyo de $\varphi$
está contenida en $A\times B$ donde $A$ $B$ son dos subconjuntos compactos de
$\mathbb R$. Deje $b_1$ $b_2$ golpee con la función de $b_1=1$ $A$ $b_2=1$
en $B$. Deje $K_1$ el apoyo de $b_1$ $K_2$ el apoyo de $b_2$. Gracias a Stone-Weierstrass teorema, podemos encontrar una secuencia de polinomios
$\{P_n\}$ tal que $\partial^{\alpha}P_n$ converge uniformemente en $K_1\times K_2$ a
$\partial^{\alpha}\varphi$ por cada $\alpha\in\mathbb N^2$. Ahora pon $\varphi_n(x,y):=b_1(x)b_2(y)P_n(x,y)$. Entonces $\varphi_n\en C_c^{\infty}(\mathbb R)
\otimes C_c^{\infty}(\mathbb R)$ since we can write $$ P_n(x,y)
=\sum_{\alpha_1+ \alpha_2\leq d_n}a_{\alpha_1,\alpha_2}b_1(x)x^{\alpha_1}b_2(y)y^{\alpha_2},$$ where $d_n\in\mathbb N$ y
$a_{\alpha_1,\alpha_2}\in\mathbb C$. Podemos comprobar que el $\{\varphi_n\}$ converge
a$\varphi$$C_c^{\infty}(\mathbb R\times \mathbb R)$: $\operatorname{supp}
\varphi_n\subconjunto K_1\times K_2$ and the Leibniz rule shows that for each $\alpha
\in\mathbb N^2$, the sequence $\{\parcial^{\alpha}\varphi_n\}$ converge uniformemente
en $K_1\times K_2$$\partial^{\alpha}\varphi$.
Pregunta II: Nos muestran que $C_c^{\infty}(\mathbb R^2)$ es un subespacio denso de $\mathcal S(\mathbb R^2)$. Deje $\chi\in C_c^{\infty}(\mathbb R^2)$ tal que $\chi(u)=1$
si $\lVert u\rVert \leq 1$, y poner $\chi_R(x,y):=\chi\left(\frac xR,\frac yR\right)$.
Ahora vamos a $\varphi\in \mathcal S(\mathbb R^2)$. Ponemos $\varphi_R(x,y)=
\chi_R(x,y)\varphi(x,y)$, y podemos ver gracias a la regla de Leibniz que
$\sup_{(x,y)\in\mathbb R^2}|x^{\alpha_1}y^{\alpha_2}\partial ^{\beta}
(\varphi(x,y)-\varphi_R(x,y))|\leq C_{\alpha,\beta}R^{-1}+\sup_{x^2+y^2\geq R}|
x^{\alpha_1}y^{\alpha_2}\partial^{\beta}\varphi(x,y)|$, de ahí que la
secuencia $\{\varphi_n\}$ convergen a$\varphi$$\mathcal S(\mathbb R^2)$.
Ahora, podemos, para cada una de las $n$, encontramos una secuencia de $\{\varphi_{n,k}\}_k\subconjunto
C_c^{\infty}(\mathbb R)\otimes C_c^{\infty}(\mathbb R)\subconjunto
\mathcal S(\mathbb R)\otimes \mathcal S(\mathbb R)$ que converge a
$\varphi_n$ $C_c^{\infty}(\mathbb R^2)$ . Reparamos $\varphi\en
\mathcal S(\mathbb R^2)$, $\varepsilon>0$ and $\alpha,\beta\in\mathbb N^2$.
Podemos encontrar una $n$ tal que $\sup_{(x,y)\in\mathbb R^2}|x^{\alpha_1}y^{\alpha_1}\partial^{\beta}(\varphi(x,y)-\varphi_n(x,y))|
\leq \frac{\varepsilon}2$, and since $\{\varphi_{n,k}\}$ converges to $\varphi_n$
en $C_c^{\infty}(\mathbb R^2)$, podemos encontrar un subconjunto compacto $K$ $\mathbb R^2$ de manera tal que la secuencia de $\{\partial^{\beta}\varphi_{n,k}\}$ converge uniformemente en $K$$\partial^{\beta}\varphi_n$, y desde $K$ es compacto
$$\sup_{(x,y)\in\mathbb R^2}|x^{\alpha_1}y^{\alpha_1}\partial^{\beta}(\varphi_n(x,y)-\varphi_{n,k}(x,y))|
\leq \sup_{(x,y)\in K}\lVert (x,y)\rVert
\sup_{(x,y)\in\mathbb R^2}|\partial^{\beta}(\varphi(x,y)-\varphi_n(x,y))|.$$
Recogemos $k$ tal que $$\sup_{(x,y)\in\mathbb R^2}|\partial^{\beta}(\varphi(x,y)-\varphi_n(x,y))|\leq \dfrac{\varepsilon}{2\sup_{(x,y)\in K}\lVert (x,y)\rVert},$$, por tanto,
$$\sup_{(x,y)\in\mathbb R^2}|x^{\alpha_1}y^{\alpha_1}\partial^{\beta}(\varphi(x,y)-\varphi_{n,k}(x,y))|\leq\varepsilon.$$
