Sea f una incrustación del disco $D$ en el plano proyectivo real $P$ . Demuestre que $P- int(f(D))$ es homeomorfo a la banda de Mobius.

Question

Aquí se responde parcialmente a esta pregunta: ¿Cómo ver que el plano proyectivo real es una banda de Möbius pegada a un disco?

En esa respuesta se demuestra que para un embadurnamiento muy específico $f: D \rightarrow P$ espacio $P - int(D)$ es homeomorfo a la banda de Mobious y puede ser demostrado (rigurosamente) de forma constructiva.

Quiero demostrar que esto es así para todas las incrustaciones.

Me gustaría de alguna manera utilizar el teorema de la curva de Jordan y el teorema de Schoenflies, pero debo simplemente atascado en la forma de demostrar que para una incrustación no específica de un disco $D$ .

¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Dudo si utilizar aquí el teorema de la curva de Jordan, pero quizá sea posible. En su lugar, lo que yo utilizaría es el importante hecho de que el espacio $Emb(D^n , M)$ es equivalente a $Fr(M)$ el espacio total del haz de fibras sobre $M$ donde la fibra sobre $x$ es el espacio de bases del haz tangente. Aquí $M$ es n-dimensional. Esta equivalencia sólo viene de empujar hacia adelante la base estándar a lo largo de la derivada.

Para una variedad conexa no orientable, este espacio es conexo porque la base es conexa y existe un camino en el espacio total que conecta dos puntos cualesquiera en una fibra específica (esto equivale a ser no orientable).

De ello se deduce que dos incrustaciones cualesquiera del disco son isotópicas. Un resultado muy bueno llamado extensión isotópica implica entonces que existe un difeomorfismo de la variedad que lleva uno de estos discos al otro. Esto implica que como pares (la variedad y la imagen del disco incrustado), son exactamente iguales topológicamente (así como suavemente). Esto implica que al eliminar el interior se obtienen colectores homeomorfos (además de difeomorfos).